Weierstrass theorems
Weierstrass approximation theorem
我們在學微積分的時候,我們最先學到的連續函數是多項式函數,而多項式函數是最容易理解,也是最簡單的連續函數。
- 於是我們開始去思考著,是不是可以用多項式來逼近任意的連續函數呢?進而利用多項式來研究一般的連續函數的性質呢?所以,當你在談"逼近"的時候,你就必須賦與距離的概念,有了距離的概念,你才可以談甚麼叫"逼近"。
- E.g. 用多項式函數逼近任意函數最常見的例子為Taylor series.
用多項式可逼近任意連續函數可解釋如下。
- 假設多項式函數為
- 可逼近任何直線(由2個點所構成)
- 可逼近任何彎曲一次的方程式(由3個點所構成)
- 可逼近任何彎曲二次的方式式(由4個點所構成)
- 以此類推,假設我們的資料有n個點,則使用 的方程式即可表達此n個點所形成的函數。
- 定義: 實值連續函數的集合
- 為實數上的有界閉區間,令 為所有定義在[a,b]區間上的所有實值連續函數所構成的集合。
- 常簡寫為
有以下性質:
- 其也是一個實向量空間(vector space over )
- 也是一個交換環 (commutative ring)
- 因此可得其為一個over 的交換代數 (commutative algebra)
如果定義 的範數(norm)為 , 則 形成了賦範空間 (normed space).
- 賦範空間有一個很自然的距離結構, , 定義 (兩個函數的最大差值為距離)。
- 於是 形成了完備的賦距空間(complete metric space), 即其為Banach空間。
- Theorem:Weierstrass approximation theorem
- 假設 ,則存在一個由多項式函數所構成的序列可逼近此函數.