Weierstrass theorems

Weierstrass approximation theorem

• 我們在學微積分的時候，我們最先學到的連續函數是多項式函數，而多項式函數是最容易理解，也是最簡單的連續函數。

  • 於是我們開始去思考著，是不是可以用多項式來逼近任意的連續函數呢?進而利用多項式來研究一般的連續函數的性質呢?所以，當你在談"逼近"的時候，你就必須賦與距離的概念，有了距離的概念，你才可以談甚麼叫"逼近"。
  • E.g. 用多項式函數逼近任意函數最常見的例子為Taylor series.

• 用多項式可逼近任意連續函數可解釋如下。

  • 假設多項式函數為 $\lbrace x, x^2, x^3, x^4,\cdots \rbrace$
  • $x$ 可逼近任何直線(由2個點所構成)
  • $x^2$ 可逼近任何彎曲一次的方程式(由3個點所構成)
  • $x^3$ 可逼近任何彎曲二次的方式式(由4個點所構成)
  • 以此類推，假設我們的資料有n個點，則使用 $x,x^2, \cdots, x^{n-1}$ 的方程式即可表達此n個點所形成的函數。

• $C[a,b]$有以下性質：

  • 其也是一個實向量空間(vector space over $\mathbb{R}$)
  • 也是一個交換環 （commutative ring)
  • 因此可得其為一個over $\mathbb{R}$ 的交換代數 （commutative algebra)

• 如果定義 $f \in C[a,b]$的範數（norm）為 $\Vert f \Vert_{\infty} = \max_{x \in [a,b]} \vert f \vert$, 則 $C[a,b]$形成了賦範空間 (normed space).

  • 賦範空間有一個很自然的距離結構， $\forall f,g \in C[a,b]$, 定義 $d_{\infty} (f,g) = \Vert f - g \Vert_{\infty}$ (兩個函數的最大差值為距離）。
  • 於是 $C[a,b]$形成了完備的賦距空間(complete metric space), 即其為Banach空間。