良序性(Well-ordering principle)
若集合為全序集合,且, 必定存在最小元素(least element),則稱為良序集合。
E.g. 自然數為良序集合;但是整數集合不為良序集合,因為負整數的集合不含最小元素。
Archimedean property
由實數的完備性可得到此性質:為任意的正實數,則不論有多大,必須可以找到的整數倍大於。
- Theorem: , , .
- Proof (by contradiction).
- Suppose with such that .
- Let , then is bounded above.
- By least-upper-bound property .
- .
- The above statement shows that is an upper bound of set , but , and .
- Thus the assumption is false. (QED).
- 必定存在大於任意實數 的整數。 Corollary: .
- Corollary:
- Corollary: ,通常此整數記為
- Proof: , (Archimedean prop.) .
- Corollary: ,通常此整數記為
- Proof:
- 若,則得。
- 若,依Archimedean property,集合不是空集合,因為。
- 依正整數的良序性,存在最小元素,因此 且。
- 同理可證 (QED)。
- Theorem: 任意兩個實數間必定在有理數
- If , then .
- Proof: 假設 and .
- Claim: If then .
- Because , by Archimedean property we get .
- By well-ordering principle, has la least element such that .
可數與不可數集合 (Countable and uncountable set)
集合是否可數,可分為以下三類。
可數有限個元素(Countable finite)
可數無限個元素(Counable infinite):exists 1-to-1 function between set and natural number 。
不可數(Uncountable): 如果不為countable時,即為uncountable。
- Theorem:可數集合中的任意子集合仍為可數,因為很容易得出與存在1-to-1 function。
- Theorem: Let are a sequence of countable sets, is countable set.