中間值定理 (Intermediate-value theorem for derivative)

• 令函數$f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$，且對於$x \in (a,b)$均可微分(有限值或無限大)。令$f_{+}^{'}(a) < \infty,\ f_{-}^{'}(b) < \infty$ 且 $f_{+}^{'}(a) \neq\ f_{-}^{'}(b)$，若$f_{+}^{'}(a) \leq c \leq f_{-}^{'}(b)$ 或 $f_{-}^{'}(b) \leq c \leq f_{+}^{'}(a)$，則 $\exists x \in (a,b) \ni f^{'}(x) = c$.

• 

  • Proof:
  • Let $g(x) = \frac{f(x) - f(a)}{x - a}, \text{ if } x \neq a, \text{ else } g(a) = f^{'}_{+}(a)$.
  • then $g \in \mathbf{C}[a,b]$.
  • 根據連續函數的中間值定理，可知$\forall y \in (g(a), g(b)) \exists c \in (a,b) \ni f(c) = y$均有定理.
  • 根據MVT，可得$g(x) = f^{'}(k)$ for some $k \in (a,x),\ x \in (a,b)$,
  • 所以$f^{'}$在$(a,b)$中均有定義。
  • TODO

• 此定理在$f_{+}^{'}(a) = \pm \infty$ 或 $f_{-}^{'}(b) = \pm \infty$ 時仍然成立。

• 此定義說明了函數的微分值在區間中變號(正值變負值或是負值變正值)，則必定存在某一點的微分值為0，且該點為區域極值。

• Corollary: 令函數 $f$ 在開區間 $(a,b)$ 中每一點均可微(有限值或無限大)，且 $f$在端點$a$ 與 $b$ 連續。若 $\forall x \in (a,b)$, $f^{'}(x) \neq 0$，則函數$f$嚴格單調 (嚴格遞增或嚴格遞減)。
  • 假設函數為嚴格單調遞增，其微分函數之值必定大於0。

• Corollary: 若函數$f^{'}$存在且在開區間$(a,b)$單調，則$f^{'}$ 在開區間$(a,b)$連續。
  • Proof:(反證法)
  • 假設函數$f^{'}$在點$c \in (a,b)$有跳躍(jump)。
  • 令點$c$包含於子區間$[a_1, b_1]$中。
  • 由IVT可知在點$c$應存在微分值，與假設矛盾(QED)。

L'Hospital rule

• 函數$f,g$在開區間$(a,b)$可微分，但在$c \in (a,b)$不必可微分，若
  • $\lim_{x \rightarrow c}f(x) = \lim_{x \rightarrow c}g(x) = 0 \text{ or } \pm \infty$ (同時為0、正無窮大或負無窮大)。
  • $g^{'}(x) \neq 0, \forall x \in (a,b) \text{ with } x \neq c$, and $\lim_{x \rightarrow c}\frac{f^{'}(x)}{g^{'}(x)} < \infty$.
  • then $\lim_{x \rightarrow c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \rightarrow c} \frac{f^{'}(x)}{g^{'}(x)}$.

• 此法則可解釋為$f$相對於$g$的增長速度(斜率)，經過微分後的比例仍然相等。即位移之值無法比較時，比較速度，若也無法比較時，比較加速度，以此類推。

Taylor's formula

• 若函數$f$在點$c$可微分，則$f^{'}(x) = \lim_{x \rightarrow c} \frac{f(x) - f(c)}{x- c}$，即可用線性函數近$f$如下：

  • $f(x) = f(c) + f^{'}(c) (x - c)$.

• 若函教$f^{(n)} < \infty$ 在開區間$(a,b) \ n$階可微分，且假設$f^{(n-1)}$在閉區間$[a,b]$連續。假設點$c \in [a,b]$，則

  • $\forall x \in [a,b], \ x \neq c \ \exists x_1 \ni f(x) = f(c) + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{f^{(k)}(c) }{k!} (x-c)^k + \frac{f^{(n)}(x_1)}{n!} (x-c)^n$.

Lipschitz condition

• 定義：函數$f$滿足Lipschitz condition of rate $\alpha$ 若 $\exists M > 0$ (may depend on $c$) 且 $x \in N_r(c),\ x \neq c$ $\ni |f(x) - f(c) < M | x - c|^{\alpha}$.

• 若函數$f$滿足此條件，表示函數在開球$N_r(c)$中均為有限變化量，即不會在點$c$突然變化，所以在點$c$連續($\alpha > 0$)，若$\alpha > 1$，則在點$c$可微分。

• Uniform Lipchitz condition
  • $\exists M > 0$ (not depend on $c$) 且 $x \in N_r(c),\ x \neq c$ $\ni |f(x) - f(c) < M | x - c|^{\alpha}$.
  • Uniform與Non-uniform的差別在於$M$是否與$c$的位置有關。
  • $\alpha > 1$時，$f$在區間$[a,b]$為常數。
  • $\alpha = 1$時，$f$在區間$[a,b]$為有界變分。

Leibnitz's formula

• $h = f \cdot g$.
• $h^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^n \begin{vmatrix} n \\ k \end{vmatrix}f^{(k)}(x) g^{(n-k)}(x)$.