隨機變數收斂性
機乎確定收斂(almost sure convergence)
給定定義於同一機率空間(Ω,F,P)的隨機變數X與隨機變數序列Xn。
- 若limn→∞Xn(ω)=X(ω),∀ω∈Ω\N, P(N)=0
- 或寫為 P(ω∈Ω∣limn→∞Xn(ω)=X(ω))=1
- 則稱Xn機乎確定收斂到X,記為limn→∞Xn=Xa.s..
- 此收斂指隨機變數序列Xn在測度不為0的事件集合均收斂到隨機變數X,即給定ωk,若P(ωk)>0,必可得到limn→∞Xn(ωk)=X(ωk).
- 而此測度為0的集合N中,隨機變數序列不一定會收斂到X。
- convergence a.s. ⇒ convergence in probability ⇒ convergence in distribution,反之不一定成立。
機率收斂(convergence in probability)
給定定義於同一機率空間(Ω,F,P)的隨機變數X與隨機變數序列Xn。
- 若∀epsilon>0, limn→∞P(∣Xn−X∣≥ϵ)=0
- 常寫為plimn→∞Xn=X
- 此收斂性指是測度的收斂,因此會存在ωk∋limn→∞Xn(ωk)≠X(ω),但是這種事件發生的機率非常的小。
分佈收斂(convergence in distribution)
給定定義於同一機率空間(Ω,F,P)的隨機變數X與隨機變數序列Xn。且對應的cumulative distribution functions分別為Fn與F。
- 若limn→∞Fn(x)=F(x), ∀x∈R.