隨機變數收斂性

機乎確定收斂(almost sure convergence)

    • 給定定義於同一機率空間(Ω,F,P)(\Omega, \mathbb{F}, P)的隨機變數XX與隨機變數序列XnX_n
    • limnXn(ω)=X(ω),ωΩ\N, P(N)=0 \lim_{n \rightarrow \infty} X_n(\omega) = X(\omega), \forall \omega \in \Omega \backslash N, \ P(N) = 0
    • 或寫為 P(ωΩlimnXn(ω)=X(ω))=1P \left( \omega \in \Omega | \lim_{n \rightarrow \infty} X_n(\omega) = X(\omega) \right) = 1
    • 則稱XnX_n機乎確定收斂到XX,記為limnXn=Xa.s.\lim_{n \rightarrow \infty} X_n = X \text{a.s.}.
    • 此收斂指隨機變數序列XnX_n在測度不為0的事件集合均收斂到隨機變數XX,即給定ωk\omega_k,若P(ωk)>0P(\omega_k) > 0,必可得到limnXn(ωk)=X(ωk)\lim_{n \rightarrow \infty} X_n(\omega_k) = X(\omega_k).
    • 而此測度為0的集合NN中,隨機變數序列不一定會收斂到XX
    • convergence a.s. \Rightarrow convergence in probability \Rightarrow convergence in distribution,反之不一定成立。

機率收斂(convergence in probability)

    • 給定定義於同一機率空間(Ω,F,P)(\Omega, \mathbb{F}, P)的隨機變數XX與隨機變數序列XnX_n
    • epsilon>0, limnP(XnXϵ)=0\forall epsilon > 0, \ \lim_{n \rightarrow \infty} P(| X_n - X| \geq \epsilon ) = 0
    • 常寫為plimnXn=X \text{plim}_{n \rightarrow \infty}X_n = X
    • 此收斂性指是測度的收斂,因此會存在ωklimnXn(ωk)X(ω)\omega_k \ni \lim_{n \rightarrow \infty} X_n(\omega_k) \neq X(\omega),但是這種事件發生的機率非常的小。

分佈收斂(convergence in distribution)

    • 給定定義於同一機率空間(Ω,F,P)(\Omega, \mathbb{F}, P)的隨機變數XX與隨機變數序列XnX_n。且對應的cumulative distribution functions分別為FnF_nFF
    • limnFn(x)=F(x), xR \lim_{n \rightarrow \infty} F_n(x) = F(x),\ \forall x \in \mathbb{R}.
    • 這是隨機變數最弱的收斂形式。

results matching ""

    No results matching ""