實數中的集合

• 分析數學中的主要概念，如收斂性、微分與積分等，對其討論時，必定都將追溯到實數系的基本性質。
• 我們需證明實數集合$\mathbb{R}$ 為一個具有完備素的有序體(complete ordered field)。

自然數(Natural number)

• 自然數集合 $\mathbb{N} = \{ 1,2, \cdots , n , \cdots\}$.
• 有些自然數集合的定義會包含元素0。

Peano 公理(axiom)

• 根據Peano公設，我們可以為自然數定義加法運算、乘法運算與次序關系，並證明與自然數系相關的各種性質。
  • 再來可證明出整數系$\mathbb{Z}$的性質，再由整數系證明有理數系的加法運算、乘法運算與次序關系，且證明有理數系為有序體。
  • 最後再由有理數系證明實數系也滿足此性質。

整數 (Integer)

• $\mathbb{Z}=\left(-\mathbb{N}\right)\cup\left(0\right)\cup\mathbb{N}=\left\{, \cdots,-2,-1,0,1,2,\cdots, \right\}$.
• 很明顯可知自然數為整數的子集合，$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$.

有理數 (Rational number)

• $\mathbb{Q}=\left\{ \frac{m}{n}\vert gcd(m,n)=1,n\neq0,m,n\in\mathbb{Z}\right\}$.
• 有理數必定是由兩個互質(relative prime)的整數所組成。
• 給定任兩個有理數$r,s\in\mathbb{Q}$且$r < s$，必存在有理數$t\in\mathbb{Q}$且$r < t < s$. (e.g. $t=\frac{r+s}{2}$)

無理數 (Irrational number)

• 無理數即實數中，無法表示為有理數之數，定義為集合$\Gamma$，主要有以下三種定義法：
  • Cantor以收斂有理數數列定義無理數 (converge sequence of rational numbers)。
  • Dedekind以分劃(cut)定義無理數。
  • Weierstrass以nested interval定義無理數。
• 實數$\mathbb{R}$中所有元素均可用收斂有理數數列表示，即$\mathbb{R}=\mathbb{Q} \cup\Gamma$ and $\mathbb{Q}\cap\Gamma=\phi$.
• 任一無理數均可表示為不循環的小數。

Cantor method

• If a converge sequence of rational numbers $\left\{ a_{n}\right\}$ satisfies $\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a$, $a\in\mathbb{Q}$, then $a$ is a rational number.
  • E.g. $\left\{ 2.1,2.1,\cdots,2.1,\cdots\right\}$ is the rational number $2.1$.
  • E.g. $\left\{ \frac{5}{2},2,\frac{11}{6},\cdots,\frac{3n+2}{2n},\cdots\right\}$ is the rational number $3/2$.
• If a converge sequence of rational numbers $\left\{ a_{n}\right\}$ satisfies $\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a$, $a\notin\mathbb{Q}$ then $a$ is an irrational number.
  • E.g. $\left\{ 1.4,1.41,1.414,1.4142,\cdots\right\}$ is the irrational number $\sqrt{2}$.

實數的組成

• $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$.
• $\Gamma\subset\mathbb{R}$.
• $\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup\Gamma$, $\mathbb{Q}\cap\Gamma=\phi$.
• $\mathbb{R}=A\cup T$, $A\cap T=\phi$, A為代數數集合，$T$為超越數集合。
• $\mathbb{Q\subset A}$, $T\subset\Gamma$.