實數中的集合

  • 分析數學中的主要概念,如收斂性、微分與積分等,對其討論時,必定都將追溯到實數系的基本性質。
  • 我們需證明實數集合R \mathbb{R} 為一個具有完備素的有序體(complete ordered field)。

自然數(Natural number)

  • 自然數集合 N={1,2,,n,}\mathbb{N} = \{ 1,2, \cdots , n , \cdots\} .
  • 有些自然數集合的定義會包含元素0。

Peano 公理(axiom)

  • 1N 1 \in \mathbb{N}
  • n1N n_1 \in \mathbb{N} ,則 n2N n_2 \in \mathbb{N} , 這裡 n2 n_2 n1 n_1的繼數(successor);即每個自然數都必定有繼數。
  • 1 不為任何自然數的繼數。
  • n1,m1N and n2=m2 n_1, m_1 \in \mathbb{N} \text{ and } n_2 = m_2 then n1=m1 n_1 = m_1 ;若兩自然數n1, m1n_1, \ m_1的繼數相等時,則n1=m1n_1 = m_1
  • (數學歸納)(Mathematical induction) Let SN, 1S and n1SS\subset\mathbb{N},\ 1\in S \text{ and } n_1\in S \Rightarrow n2Sn_2\in S then S=NS=\mathbb{N}.
  • 根據Peano公設,我們可以為自然數定義加法運算、乘法運算與次序關系,並證明與自然數系相關的各種性質。
    • 再來可證明出整數系Z \mathbb{Z} 的性質,再由整數系證明有理數系的加法運算、乘法運算與次序關系,且證明有理數系為有序體。
    • 最後再由有理數系證明實數系也滿足此性質。

整數 (Integer)

  • Z=(N)(0)N={,,2,1,0,1,2,,} \mathbb{Z}=\left(-\mathbb{N}\right)\cup\left(0\right)\cup\mathbb{N}=\left\{, \cdots,-2,-1,0,1,2,\cdots, \right\} .
  • 很明顯可知自然數為整數的子集合,NZ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} .

有理數 (Rational number)

  • Q={mngcd(m,n)=1,n0,m,nZ} \mathbb{Q}=\left\{ \frac{m}{n}\vert gcd(m,n)=1,n\neq0,m,n\in\mathbb{Z}\right\} .
  • 有理數必定是由兩個互質(relative prime)的整數所組成。
  • 給定任兩個有理數r,sQr,s\in\mathbb{Q}r<sr < s,必存在有理數tQt\in\mathbb{Q}r<t<sr < t < s. (e.g. t=r+s2t=\frac{r+s}{2})

無理數 (Irrational number)

  • 無理數即實數中,無法表示為有理數之數,定義為集合Γ\Gamma,主要有以下三種定義法:
    • Cantor以收斂有理數數列定義無理數 (converge sequence of rational numbers)。
    • Dedekind以分劃(cut)定義無理數。
    • Weierstrass以nested interval定義無理數。
  • 實數R\mathbb{R}中所有元素均可用收斂有理數數列表示,即R=QΓ\mathbb{R}=\mathbb{Q} \cup\Gamma and QΓ=ϕ\mathbb{Q}\cap\Gamma=\phi.
  • 任一無理數均可表示為不循環的小數。

Cantor method

  • If a converge sequence of rational numbers {an}\left\{ a_{n}\right\} satisfies limnan=a\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a, aQa\in\mathbb{Q}, then aa is a rational number.
    • E.g. {2.1,2.1,,2.1,}\left\{ 2.1,2.1,\cdots,2.1,\cdots\right\} is the rational number 2.12.1.
    • E.g. {52,2,116,,3n+22n,}\left\{ \frac{5}{2},2,\frac{11}{6},\cdots,\frac{3n+2}{2n},\cdots\right\} is the rational number 3/23/2.
  • If a converge sequence of rational numbers {an}\left\{ a_{n}\right\} satisfies limnan=a\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a, aQa\notin\mathbb{Q} then aa is an irrational number.
    • E.g. {1.4,1.41,1.414,1.4142,}\left\{ 1.4,1.41,1.414,1.4142,\cdots\right\} is the irrational number 2\sqrt{2}.

實數的組成

  • NZQR\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}.
  • ΓR\Gamma\subset\mathbb{R}.
  • R=QΓ\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup\Gamma, QΓ=ϕ\mathbb{Q}\cap\Gamma=\phi.
  • R=AT\mathbb{R}=A\cup T, AT=ϕA\cap T=\phi, A為代數數集合,TT為超越數集合。
  • QA\mathbb{Q\subset A}, TΓT\subset\Gamma.
    實數集合關係圖.

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