歐式空間(Euclidean space)

集合的基本性質

    • 歐式空間集合運算性質
    • 交換律: AB=BA, AB=BA A \cup B = B \cup A, \ A \cap B = B \cap A .
    • 結合律: (AB)C=A(BC) (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C).
    • 空集合: Aϕ=A, Aϕ=ϕ A \cup \phi = A, \ A \cap \phi = \phi .
    • 子集合: ABAB=B, AB=A A \subset B \Rightarrow A \cup B = B, \ A \cap B = A.
    • 分配律1: A(BC)=(AB)(AC) A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C).
    • 分配律2: A(BC)=(AB)(AC) A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C).
    • De Morgan定律1: A(BC)=(AB)(AC) A - (B \cup C) = (A-B) \cap (A-C) .
    • De Morgan定律2: A(BC)=(AB)(AC) A - (B \cap C) = (A-B) \cup (A-C) .
    • 定義:積集合(product set)
    • A×B={(a,b)aA, bB} A \times B = \{(a,b) | a \in A, \ b \in B \} .
    • (a,b) (a,b) 為有序對(order pair),即(a,b)(b,a) (a,b) \neq (b,a) .
    • Theorem:積集合的分配律
    • A×(BC)=(A×B)(A×C) A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C) .
    • A×(BC)=(A×B)(A×C) A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C) .

函數的基本性質

  • 函數(function)也稱為映射(mapping)。

    • 一對一函數稱為嵌射(injective mapping 或 injection)。
    • 映成函數稱為蓋射(surjective mapping 或 surjection)。
    • 一對一且映成的函數稱為對射(bijective mapping 或 bijection)。
    • Theorem:函數的基本性質。
    • 函數f:XY f: X \rightarrow Y
    • ABXf(A)f(B) A \subset B \subset X \Rightarrow f(A) \subset f(B) .
    • CDYf1(C)f1(D) C \subset D \subset Y \Rightarrow f^{-1}(C) \subset f^{-1}(D) .
    • A,BXf(AB)=f(A)f(B) A, B \subset X \Rightarrow f(A \cup B) = f(A) \cup f(B) .
    • C,DYf1(CD)=f1(C)f1(D) C, D \subset Y \Rightarrow f^{-1}(C \cup D) = f^{-1}(C) \cup f^{-1}(D) .
    • A,BXf(AB)f(A)f(B) A, B \subset X \Rightarrow f(A \cap B) \subset f(A) \cap f(B) .
    • f f 為一對一函數,則f(AB)=f(A)f(B) f(A \cap B) = f(A) \cap f(B) .
    • C,DYf1(CD)=f1(C)f1(D) C, D \subset Y \Rightarrow f^{-1}(C \cap D) = f^{-1}(C) \cap f^{-1}(D) .
    • A,BXf(A)f(B)f(AB)f(A) A, B \subset X \Rightarrow f(A) - f(B) \subset f(A-B) \subset f(A) .
    • C,DYf1(CD)=f1(C)f1(D) C, D \subset Y \Rightarrow f^{-1}(C-D) = f^{-1}(C) - f^{-1}(D) .
    • AXAf1(f(A)) A \subset X \Rightarrow A \subset f^{-1}(f(A)) .
    • f f為一對一函數,則A=f1(f(A)) A = f^{-1}(f(A)) .
    • CYf(f1(C))C C \subset Y \Rightarrow f(f^{-1}(C)) \subset C .
    • f f 為映成函數,則f(f1(C))=C f(f^{-1}(C)) = C .
    • f:XY f: X \rightarrow Y 為一對一函數,則必存在函數g:YX gf=1X g: Y \rightarrow X \ni \ g \circ f = 1_X .
    • f:XY f: X \rightarrow Y 為映成函數,則必存在函數h:Y fh=1Y h: Y \rightarrow \ni \ f \circ h = 1_Y.
    • g:YZ g: Y \rightarrow Z 為任意函數,且gf g \circ f 為一對一函數,則f f 也是一對一函數。若gf g \circ f 為映成函數,則g g 也為映成函數。

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