歐式空間(Euclidean space)

集合的基本性質

• 歐式空間集合運算性質
  • 交換律： $A \cup B = B \cup A, \ A \cap B = B \cap A$.
  • 結合律： $(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$.
  • 空集合： $A \cup \phi = A, \ A \cap \phi = \phi$.
  • 子集合： $A \subset B \Rightarrow A \cup B = B, \ A \cap B = A$.
  • 分配律1： $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$.
  • 分配律2： $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$.
  • De Morgan定律1： $A - (B \cup C) = (A-B) \cap (A-C)$.
  • De Morgan定律2： $A - (B \cap C) = (A-B) \cup (A-C)$.
• 定義：積集合(product set)
  • $A \times B = \{(a,b) | a \in A, \ b \in B \}$.
  • $(a,b)$為有序對(order pair)，即$(a,b) \neq (b,a)$.
• Theorem:積集合的分配律
  • $A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C)$.
  • $A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C)$.

函數的基本性質

• 函數(function)也稱為映射(mapping)。

  • 一對一函數稱為嵌射(injective mapping 或 injection)。
  • 映成函數稱為蓋射(surjective mapping 或 surjection)。
  • 一對一且映成的函數稱為對射(bijective mapping 或 bijection)。
• Theorem:函數的基本性質。
  • 函數$f: X \rightarrow Y$
  • $A \subset B \subset X \Rightarrow f(A) \subset f(B)$.
  • $C \subset D \subset Y \Rightarrow f^{-1}(C) \subset f^{-1}(D)$.
  • $A, B \subset X \Rightarrow f(A \cup B) = f(A) \cup f(B)$.
  • $C, D \subset Y \Rightarrow f^{-1}(C \cup D) = f^{-1}(C) \cup f^{-1}(D)$.
  • $A, B \subset X \Rightarrow f(A \cap B) \subset f(A) \cap f(B)$.
  • 若$f$為一對一函數，則$f(A \cap B) = f(A) \cap f(B)$.
  • $C, D \subset Y \Rightarrow f^{-1}(C \cap D) = f^{-1}(C) \cap f^{-1}(D)$.
  • $A, B \subset X \Rightarrow f(A) - f(B) \subset f(A-B) \subset f(A)$.
  • $C, D \subset Y \Rightarrow f^{-1}(C-D) = f^{-1}(C) - f^{-1}(D)$.
  • $A \subset X \Rightarrow A \subset f^{-1}(f(A))$.
  • 若 $f$為一對一函數，則$A = f^{-1}(f(A))$.
  • $C \subset Y \Rightarrow f(f^{-1}(C)) \subset C$.
  • 若 $f$為映成函數，則$f(f^{-1}(C)) = C$.
  • 若 $f: X \rightarrow Y$為一對一函數，則必存在函數$g: Y \rightarrow X \ni \ g \circ f = 1_X$.
  • 若 $f: X \rightarrow Y$為映成函數，則必存在函數$h: Y \rightarrow \ni \ f \circ h = 1_Y$.
  • 若 $g: Y \rightarrow Z$為任意函數，且$g \circ f$為一對一函數，則$f$也是一對一函數。若$g \circ f$為映成函數，則$g$也為映成函數。