集合 (set)

  • 集合中的元素需明確定義,一個元素ss必定屬於集合SS (sSs \in S),或是不屬於集合SS (sSs \notin S)。

  • 集合中的元素不會重複且無排列關係。

  • 空集 ϕ\phi為任何集合的子集合 (ϕS\phi \subseteq S),所以一個包含有nn個元素的有限集合(S=n|S| = n)的子集合個數為 C0n+C1n++Cnn=2nC^{n}_0 + C^{n}_1 + \cdots + C^{n}_n = 2^n

有序集合 (Order set)

    • 定義:有序集合
    • 在集合S S 的序列(order)是一種關係(relation),記為(S,)(S, \leq) ,且滿足以下性質:
    • (反身性, reflexive) xS, xx \forall x \in S,\ x \leq x .
    • (反對稱性,antisymmetric) x,yS\forall x, y \in S, if xy x \leq y and yx y \leq x, then x=yx = y.
    • (遞移性,transitive) x,y,zS\forall x, y, z \in S, if xyx \leq y, and yz y \leq z, then xzx \leq z.

全序集合 (Total order set)

    • 定義:全序集合
    • x,yS, xy or yx \forall x,y \in S,\ x \leq y \text{ or } y \leq x .
    • 由定義可得全序集合中任兩個元素必定可以比較大小。
    • 可得出(Rn,)(\mathbb{R}^n, \leq ), n=1n=1時為全序集合,但n2n \geq 2 為有序集合。

集合的上界與下界(upper bound and lower bound of set)

  • (S,)(S, \leq)為有序集合,ESE \subseteq S

    • 定義:有上界(bounded above)
    • bSxE, xb \exists b \in S \ni \forall x \in E, \ x \leq b .
    • b b 為集合E E 的上界。
    • 定義:有下界(bounded below)
    • aSxE, xa \exists a \in S \ni \forall x \in E, \ x \geq a .
    • a a 為集合E E 的下界。
  • a,ba, b不需為集合EE的元素,其原因是若EE為open set或是非連續集合(如有理數集合)時可能無法直接用集合內元素定義上下界。

  • 若集合E E 同時存在有上、下界時,稱為有界集合(bounded set)。

最小上界與最大下界(supremum and infmum)

  • (S,)(S, \leq)為有序集合,且ESE \subseteq S

    • 定義:Least upper bound or supremum (最小上界)
    • b=supE b = \sup E 為集合E E 的最小上界若
    • b b 為集合E E 的上界,而且比b b 小的實數都不是E E 的上界。
    • 定義:Greatest lower bound or infmum (最大下界)
    • a=infE a = \inf E 為集合E E 的最大下界若
    • a a 為集合E E 的下界,而且比a a 大的實數都不是E E 的下界。
  • supS,infS\sup S, \inf S由定義可知若存在時具唯一性。

  • E.g. [a,b][a,b], [a,b)[a,b), (a,b](a,b], and (a,b)(a,b)四個集合的sup均為bb,inf均為aa

  • E.g. {rQr0r2<2}\lbrace r\in \mathbb{Q} \vert r \geq 0 \cap r^2 < 2 \rbrace的sup為2\sqrt{2}, inf為0。

最小上界性質(least-upper-bound property)

  • 定義:令(S,)(S, \leq)為有序集合,則least-upper-bound property即集合ϕES\phi \neq E \subset S 有上界時,則最小上界必定為SS的元素(supES\sup E \in S)。

  • E.g. 有理數Q\mathbb{Q}不滿足最小上界性質。

    • A={xQ+x2<2}A = \lbrace x \in \mathbb{Q}^{+} \vert x^2 < 2 \rbrace.
    • 集合AA有上界(is bounded above)
      • 但是supA=2Q\sup A = \sqrt{2} \notin \mathbb{Q}.
  • Theorem: 若SS為有序集合,且有最小上界性質,令ϕBS\phi \neq B \subset S有下界(bounded below),則集合BB的最大下界必為SS的元素(infBS\inf B \in S).

    • Let LL be the set of all lower bounds of BB.
    • xB \therefore \forall x \in B, xx is an upper bound of LL.
    • a=supLBS \therefore a = \sup L \in B \in S.
    • claim a=Ba = \int B
      • aL a \in L i.e. if xBx \in B then axa \leq x. (所有集合BB中的元素必定大於等於aa)
      • If a>c a > c, then cBc \notin B.
      • Given a>ca > c, because a=supLa = \sup L, \therefore cc is not an upper bounded of LL

實數的完備性

    1. 定理: 實數系的完備性,可用來保證最小上界與最大下界的存在性。
    2. 實數集合 R\mathbb{R} 中,每個非空有上界的子集合有最小上界。
    3. 實數集合 R\mathbb{R} 中,每個非空有下界的子集合有最大下界。
    • Proof(1)
    • ϕSR \phi \neq S \subseteq \mathbb{R} ,且有上界。
    • A={aRxSx>a} A =\{ a \in \mathbb{R} | \exists x \in S \ni x > a \} .
    • B={bRxSxb} B= \{ b \in \mathbb{R} | \forall x \in S \ni x \leq b \} .(集合S S 所有上界形成的集合)
    • SϕAϕ \because S \neq \phi \therefore A \neq \phi .
    • S \because S 有上界,所以Bϕ B \neq \phi .
    • 根據定義可得AB=R, AB=ϕ A \cup B = \mathbb{R},\ A \cap B = \phi, 而且A<B A < B
    • 因此根據完備性的定義,存在rRaA,ar and bB,br r \in \mathbb{R} \ni \forall a \in A, a \leq r \text{ and } \forall b \in B, b \geq r.
    • 只要能證明rB r \in B ,則因為B B 是所有上界形成的集合,就可得r=supS r = \sup S .
    • (反證法)
    • rB r \notin B ,則rA r \in A ,根據定義sSr<s \exists s \in S \ni r < s
    • sS and (r+s)/2<s \because s \in S \text{ and } (r+s)/2 < s (r+s)/2A and(r+s)/2>r \therefore (r+s)/2 \in A \text{ and} (r+s)/2 > r , 與r r 的性質矛盾。
    • 所以rB r \in B ,因此存在最小上界。(QED)。

    • Proof(2): (由(1)的結論證明)
    • ϕTR \phi \neq T \subset \mathbb{R}, 且有下界。
    • S={xRxT} S = \{ x \in \mathbb{R}| -x \in T \} ,可得Sϕ S \neq \phi
    • 因為T T 有下界,因此S S 有上界,所以S S有最小上界b=supS b = \sup S
    • 以下證明b=infT -b = \inf T .
    • yT,ySyb \forall y \in T, -y \in S \Rightarrow -y \leq b ,所以b -b T T 的下界。
    • ϵ>0,bϵ<bx0Sx0>bϵ \forall \epsilon > 0, b - \epsilon < b \therefore \exists x_0 \in S \ni x_0 > b - \epsilon .
    • x0<(b)+ϵ \therefore - x_0 < (-b) + \epsilon , x0T,(b)+ϵ \because - x_0 \in T, \therefore (-b) + \epsilon 不是T T 的下界。
    • 因此b -b T T 的最大下界(QED)。
    • Theorem (Approximation property)
    • ϕSR\phi \neq S \subseteq \mathbb{R}, and supS=b\sup S = b
    • then a<bxSa<xb\forall a < b \exists x \in S \ni a < x \leq b.
    • 最小上界(最大下界)若存在時,則集合內任一元素與最小上界間必定存在其它的元素。
    • Proof: xS, xb\forall x \in S,\ x \leq b.
    • If we had xa, xSx \leq a,\ \forall x \in S, then aa is an upper bound of SS which is smaller than bb (contradition).
    • x>a\therefore x > a for at least one xSx \in S. (QED).

最小上界與最大下界性質

  • 當實數的非空子集合S S 沒有上界時,則沒有最小上界,此時記為supS= \sup S = \infty .
  • 當實數的非空子集合S S 沒有下界時,則沒有最大下界,此時記為infS= \inf S = -\infty .
  • 對於空集合ϕ \phi ,因為對於任意實數r r ,空集合中沒有任何元素大於或小於r r ,因此定義supϕ=,infϕ= \sup \phi = -\infty, \inf \phi = \infty .

    • Theorem:基本性質一
    • ϕSR, and cR \phi \neq S \subset \mathbb{R}, \text{ and } c \in \mathbb{R} , let cA={cxxA} cA = \{ cx | x \in A \}
    • c>0 c > 0 , 則當A A 有上界時,cA cA 也有上界,且sup(cA)=c(supA) \sup (cA) = c (\sup A)
    • c>0 c > 0 , 則當A A 有下界時,cA cA 也有下界,且inf(cA)=c(infA) \inf (cA) = c (\inf A)
    • c<0 c < 0 , 則當A A 有上界時,cA cA 也有下界,且inf(cA)=c(supA) \inf (cA) = c (\sup A)
    • c<0 c < 0 , 則當A A 有下界時,cA cA 也有上界,且sup(cA)=c(infA) \sup (cA) = c (\inf A)
    • Proof(3), 令supA=r \sup A = r
    • Ley ycAy/cAry/c y \in cA \therefore y/c \in A \Rightarrow r \geq y/c.
    • c<0ycr \because c < 0 \therefore y \geq c r ,所以cr cr 是集合cA cA 的下界[1]。
    • ϵ>0,r+ϵ/c<r \forall \epsilon > 0, r + \epsilon/c < r
    • r=supAxAx>r+ϵ/ccx<cr+ϵ \because r = \sup A \therefore \exists x \in A \ni x > r + \epsilon/c \Rightarrow cx < cr + \epsilon .
    • cxcA \because cx \in cA ,所以ϵ>0, cr+ϵ \forall \epsilon > 0,\ cr + \epsilon 不是cA cA 的下界[2].
    • 由[1,2]可知cr cr cA cA 的最大下界。(QED)。
    • Theorem:基本性質二
    • A,BR A, B \subset \mathbb{R} 為實數中兩個非空子集合。
    • AB A \subset B B B 有上界時,A A 也有上界,且supAsupB \sup A \leq \sup B .
    • AB A \subset B B B 有下界時,A A 也有下界,且infAinfB \inf A \geq \inf B .
    • (兩實數集合最多相交於一點) 若A A 中每個元素x x B B 中每個元素y y 均滿足xy x \leq y ,則A A 有上界,B B 有下界,且supAinfB \sup A \leq \inf B .
    • (兩實數集合相交或沒有交集)xA, yBxy \forall x \in A, \ \exists y \in B \ni x \leq y ,且B B 有上界時,則A A 也有上界,且supAsupB \sup A \leq \sup B .
    • xA, zBxz \forall x \in A, \ \exists z \in B \ni x \geq z ,且B B 有下界時,則A A 也有下界,且infAinfB \inf A \leq \inf B .
    • E.g. A=[1,2], B=[0,4],supA=2supB=4,infA=1infB=0 A=[1,2],\ B=[0,4], \sup A= 2 \leq \sup B =4, \inf A =1 \geq \inf B = 0 .
    • E.g. A=[1,2], B=[2,4],supA=2infB=2 A=[1,2],\ B=[2,4], \sup A= 2 \leq \inf B =2 .
    • Theorem:基本性質三
    • A,BR A, B \subset \mathbb{R} 為實數中兩個非空子集合。
    • A+B={x+yxA, yB} A+B = \{x+y | x \in A,\ y \in B \} ,
    • A, B A,\ B 都有上界時,A+B A+B 也有上界,且sup(A+B)=supA+supB \sup (A+B) = \sup A + \sup B .
    • A, B A,\ B 都有下界時,A+B A+B 也有下界,且inf(A+B)=infA+infB \inf (A+B) = \inf A + \inf B .
    • AB={xyxA, yB} AB = \{xy | x \in A,\ y \in B \} , 且BR+ B \subset \mathbb{R}^{+}
    • A, B A,\ B 都有上界時,AB AB 也有上界,且sup(AB)=(supA)(supB) \sup(AB) = (\sup A)(\sup B) .
    • A, B A,\ B 都有下界時,AB AB 也有下界,且inf(AB)=(infA)(infB) \inf(AB) = (\inf A)(\inf B) .

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