集合 (set)
集合中的元素需明確定義,一個元素必定屬於集合 (),或是不屬於集合 ()。
集合中的元素不會重複且無排列關係。
空集 為任何集合的子集合 (),所以一個包含有個元素的有限集合()的子集合個數為 。
有序集合 (Order set)
- 定義:有序集合
- 在集合的序列(order)是一種關係(relation),記為,且滿足以下性質:
- (反身性, reflexive) .
- (反對稱性,antisymmetric) , if and , then .
- (遞移性,transitive) , if , and , then .
全序集合 (Total order set)
- 定義:全序集合
- .
- 由定義可得全序集合中任兩個元素必定可以比較大小。
- 可得出, 時為全序集合,但 為有序集合。
集合的上界與下界(upper bound and lower bound of set)
為有序集合,。
- 定義:有上界(bounded above)
- .
- 稱為集合的上界。
- 定義:有下界(bounded below)
- .
- 稱為集合的下界。
不需為集合的元素,其原因是若為open set或是非連續集合(如有理數集合)時可能無法直接用集合內元素定義上下界。
- 若集合同時存在有上、下界時,稱為有界集合(bounded set)。
最小上界與最大下界(supremum and infmum)
為有序集合,且。
- 定義:Least upper bound or supremum (最小上界)
- 為集合的最小上界若
- 為集合的上界,而且比小的實數都不是的上界。
- 定義:Greatest lower bound or infmum (最大下界)
- 為集合的最大下界若
- 為集合的下界,而且比大的實數都不是的下界。
由定義可知若存在時具唯一性。
E.g. , , , and 四個集合的sup均為,inf均為。
E.g. 的sup為, inf為0。
最小上界性質(least-upper-bound property)
定義:令為有序集合,則least-upper-bound property即集合有上界時,則最小上界必定為的元素()。
E.g. 有理數不滿足最小上界性質。
- 令.
- 集合有上界(is bounded above)
- 但是.
- Theorem: 若為有序集合,且有最小上界性質,令有下界(bounded below),則集合的最大下界必為的元素().
- Let be the set of all lower bounds of .
- , is an upper bound of .
- .
- claim
- i.e. if then . (所有集合中的元素必定大於等於)
- If , then .
- Given , because , is not an upper bounded of
實數的完備性
- 定理: 實數系的完備性,可用來保證最小上界與最大下界的存在性。
- 實數集合 中,每個非空有上界的子集合有最小上界。
- 實數集合 中,每個非空有下界的子集合有最大下界。
- Proof(1)
- 令,且有上界。
- 令.
- 令.(集合所有上界形成的集合)
- .
- 有上界,所以.
- 根據定義可得, 而且。
- 因此根據完備性的定義,存在.
- 只要能證明,則因為是所有上界形成的集合,就可得.
- (反證法)
- 若,則,根據定義。
- ,, 與的性質矛盾。
- 所以,因此存在最小上界。(QED)。
- Proof(2): (由(1)的結論證明)
- 令, 且有下界。
- 令,可得。
- 因為有下界,因此有上界,所以有最小上界。
- 以下證明.
- ,所以是的下界。
- .
- , 不是的下界。
- 因此是 的最大下界(QED)。
- Theorem (Approximation property)
- , and
- then .
- 最小上界(最大下界)若存在時,則集合內任一元素與最小上界間必定存在其它的元素。
- Proof: .
- If we had , then is an upper bound of which is smaller than (contradition).
- for at least one . (QED).
最小上界與最大下界性質
- 當實數的非空子集合沒有上界時,則沒有最小上界,此時記為.
- 當實數的非空子集合沒有下界時,則沒有最大下界,此時記為.
對於空集合,因為對於任意實數,空集合中沒有任何元素大於或小於,因此定義.
- Theorem:基本性質一
- , let
- 若 , 則當有上界時,也有上界,且
- 若 , 則當有下界時,也有下界,且
- 若 , 則當有上界時,也有下界,且
- 若 , 則當有下界時,也有上界,且
- Proof(3), 令
- Ley .
- ,所以是集合的下界[1]。
- 。
- .
- ,所以不是的下界[2].
- 由[1,2]可知為的最大下界。(QED)。
- Theorem:基本性質二
- 為實數中兩個非空子集合。
- 若當有上界時,也有上界,且.
- 若當有下界時,也有下界,且.
- (兩實數集合最多相交於一點) 若中每個元素與中每個元素均滿足,則有上界,有下界,且.
- (兩實數集合相交或沒有交集),且有上界時,則也有上界,且.
- ,且有下界時,則也有下界,且.
- E.g. .
- E.g. .
- Theorem:基本性質三
- 為實數中兩個非空子集合。
- 令,
- 當都有上界時,也有上界,且.
- 當都有下界時,也有下界,且.
- 令, 且
- 當都有上界時,也有上界,且.
- 當都有下界時,也有下界,且.