緊緻性及其等價敘述

• 定義：緊緻集(Compact set)
  • $K \subset \mathbb{R}^k$，若 $K$的每一個開覆蓋都存在一個有限的子覆蓋，則稱 $K$ 為 $\mathbb{R}^k$ 的一個緊緻集。
• Properties:
  • $\mathbb{R}^k$中， $K$為緊致集且 $F$為閉集，則 $K \cap F$是緊緻集。
  • $\mathbb{R}^k$中，若 $K_1, K_2, \cdots, K_n$都是緊緻集，則 $\cup_{i=1}^n K_i$也是緊緻集
  • $\mathbb{R}$中，若 $C_1, c_2, \cdots, c_n$都是緊緻集，則 $C_1 \times C_2 \times \cdots times C_n$是 $\mathbb{R}^n$的緊緻集
  • 若 $A \subset \mathbb{R}^k$為有界集合，則其閉包$\overline{A}$是緊緻集。
  • 若 $K \subset \mathbb{R}$為緊緻集，則 $\sup{K} \in K \text{ and } \inf{K} \in K$

• Theorem:Heine-Borel定理
  • 由緊緻集的定義可知 $\mathbb{R}^k$ 中的有界閉集合都是緊緻集。
  • $\mathbb{R}^k$ 中的有限集合都是有界閉集，因此 $\mathbb{R}^k$ 中的有限集合都是緊緻集。
• Theorem:Heine-Borel逆定理
  • $\mathbb{R}^k$中的緊緻集都是有界的閉集合。
  • Proof:(有界集合)
  • $K \subset \mathbb{R}^k$ 為一緊緻集，因此 $\lbrace B_n(0) \subset \mathbb{R}^k | n= n_1, n_2, \cdots, n_l \in setN \rbrace$為開球集合族使得 $K \subset B_{n_1}(0) \cup B_{n_2}(0) \cup \cdots \cup B_{n_l}|(0)$.
  • 令 $m = \max \lbrace n_1, n_2, \cdots, n_l \rbrace \therefore K \subset B_m(0)$。
  • $\therefore \forall x \in K, \Vert X \Vert \le m$，所以 $K$為有界集合。
  • Proof:(閉集合)
  • $\forall x \in \mathbb{R}^k - K \text{ and } \forall y \in K, d(x,y) \ge 0$, also $\lim_{n \rightarrow \infty}1/n = 0$.
  • $\therefore K \subset \lbrace \mathbb{R}^k - \overline{B}_{1/n}(x) | n \in \mathbb{N} \rbrace$。
  • $\because K$為緊緻集，仿有界集合的方法，可找到 $s \in \mathbb{N} \ni K \subset \mathbb{R}^k - \overline{B}_{1/s}(x)$。
  • $\forall y \in K \ni d(y,x) \ge 1/s$，因此 $B_{1/s}(x) \subset \mathbb{R}^k - K$。
  • 所以 $\mathbb{R}^k - K$是 $\mathbb{R}^k$ 的開集合，因此 $K$為閉集合(QED)。

• Theorem:緊緻集第二個等價敘述
  • 因為緊緻集在歐式空間中與有界閉集合同義，所以可利用Bolzano-Weierstrass定理，使用聚集點的概念描述緊係性。
  • $K \subset \mathbb{R}^k$ 為緊緻集 $\Leftrightarrow \ K$的每個無限子集合都有一個聚集點屬於 $K$.
  • Proof( $\Rightarrow$)
  • 令 $K$ 為緊緻集，即 $K$為有界閉集合。
  • 若 $A \subset K$為無限子集合，因為 $K$ 為有界集合，所以 $A$ 為有界的無限子集合。
  • 依 Bolzano-Weierstrass定理， $A$ 有一個聚集合 $x$，因為 $A \subset K$，所以 $x$為 $K$的聚集合，又因為 $K$為閉集合，所以 $x \in K$.
  • Proof ( $\Leftarrow$)
  • 令 $K$的每個無限子集合都有一個聚集點屬於 $k$，我們將根據這項性質證明 $K$是有界的閉集。
  • 令 $x$ 為 $K$ 的一個聚集點，則 $\forall n \in \mathbb{N}, B_{1/n} (x) \cap K$ 為無限集合。
  • 任選 $x_n \in B_{1/n}(x) \cap K - \lbrace x \rbrace$，依定義得 $x_n \neq x$ 且 $\Vert x_n - x \Vert \le 1/n$。
  • 令 $A = \lbrace x_n | n \in \mathbb{N} \rbrace$，則 $A$ 為無限集合。
  • 假設 $A$有一個聚集點 $y \in K$ ，若 $y \neq x$，則當 $n > 2 / \Vert x-y \Vert$時， $\Vert x_n - y \Vert \geq \Vert x-y \Vert - \Vert x - x_n \Vert > \Vert x-y \Vert - 1/n > \Vert x-y \Vert / 2$.
  • 這表示 $y$ 的鄰域 $\lbrace z \in \mathbb{R}^k | \Vert z-y \Vert < \Vert x-y \Vert/2 \rbrace$ 與 $A$只有有限多個交點，但聚集點的充要條件為其鄰域與集合應有無限多個交點，因此 $y=x, x \in K$。
  • 即 $K$的聚集合都屬於 $K$，因此 $K$為閉集合。[1]
  • 假設 $K$ 不為有界集合，則 $\forall n \in \mathbb{N}$，都可找到 $z_n \in K \ni \Vert z_n \Vert \geq n$。
  • 令 $c = \lbrace z_n | n \in \mathbb{N} \rbrace$，則 $C$ 為無限集合。
  • $\forall z \in \mathbb{R}^k$，因為當 $n \in \mathbb{N} \ni n > 1 + \Vert z \Vert$時，滿足 $\Vert z_n - z \Vert \geq \Vert z_n \Vert - \Vert z \Vert \geq n - \Vert z \Vert > 1$，所以 $z$的鄰域 $B_1(z)$ 與 $C$ 只有有限多個交點。
  • 即 $z$不是 $C$的聚集點，換言之 $K$的無限子集 $C$ 沒有任何聚集合，此與假設不合，因此 $K$ 為有界集合 (QED)。
• Theorem:緊緻集第三個等價敘述
  • $K \subset \mathbb{R}^k$為緊緻集 $\Leftrightarrow \ K$ 中的每個序列都有一個子序列收斂於 $K$中某一點。
• Theorem:緊緻集第四個等價敘述
  • $K \subset \mathbb{R}^k$ 為緊緻集 $\Leftrightarrow \ \lbrace F_\alpha \in \mathbb{R}^k | \alpha \in I \rbrace$ 為閉集合族，只要 $I$的每個有限子集合 $\lbrace \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n \rbrace$ 都滿足 $\lbrack \cap_{i=1}^n F_{\alpha_i} \rbrack \cap K \neq \phi$，可得 $\lbrack \cap_{\alpha \in I} F_\alpha \rbrack \cap K \neq \phi$.
• Theorem:Cantor交集定理
  • $\lbrace F_n | n \in \mathbb{N} \rbrace$ 是 $\mathbb{R}^k$ 中的非空子集合所形成的可數族。
  • 若 $F_1 \supset F_2 \supset \cdots \supset \cdots F_n \supset \cdots$
  • 且 $\forall n, F_n$為閉集合 且 $F_1$為有界集合
  • 則 $\cap_{n=1}^{\infty} F_n \neq \phi$.
  • Proof:
  • 令 $K=F_1$，則 $K$為緊緻集。
  • 另一方面，集合族 $\lbrace F_n | n \in \mathbb{N} \rbrace$滿足上一個定理閉集族所需的性質，因此所有 $F_n$的交集不為空集合(QED)。