緊緻性及其等價敘述

    • 定義:緊緻集(Compact set)
    • KRk K \subset \mathbb{R}^k ,若 K K 的每一個開覆蓋都存在一個有限的子覆蓋,則稱 K K Rk \mathbb{R}^k 的一個緊緻集。
    • Properties:
    • Rk \mathbb{R}^k 中, K K 為緊致集且 F F 為閉集,則 KF K \cap F 是緊緻集。
    • Rk \mathbb{R}^k 中,若 K1,K2,,Kn K_1, K_2, \cdots, K_n 都是緊緻集,則 i=1nKi \cup_{i=1}^n K_i 也是緊緻集
    • R \mathbb{R} 中,若 C1,c2,,cn C_1, c_2, \cdots, c_n 都是緊緻集,則 C1×C2×timesCn C_1 \times C_2 \times \cdots times C_n Rn \mathbb{R}^n 的緊緻集
    • ARk A \subset \mathbb{R}^k 為有界集合,則其閉包A \overline{A} 是緊緻集。
    • KR K \subset \mathbb{R} 為緊緻集,則 supKK and infKK \sup{K} \in K \text{ and } \inf{K} \in K
    • Theorem:Heine-Borel定理
    • 由緊緻集的定義可知 Rk \mathbb{R}^k 中的有界閉集合都是緊緻集。
    • Rk \mathbb{R}^k 中的有限集合都是有界閉集,因此 Rk \mathbb{R}^k 中的有限集合都是緊緻集。
    • Theorem:Heine-Borel逆定理
    • Rk \mathbb{R}^k 中的緊緻集都是有界的閉集合。
    • Proof:(有界集合)
    • KRk K \subset \mathbb{R}^k 為一緊緻集,因此 {Bn(0)Rkn=n1,n2,,nlsetN} \lbrace B_n(0) \subset \mathbb{R}^k | n= n_1, n_2, \cdots, n_l \in setN \rbrace 為開球集合族使得 KBn1(0)Bn2(0)Bnl(0) K \subset B_{n_1}(0) \cup B_{n_2}(0) \cup \cdots \cup B_{n_l}|(0) .
    • m=max{n1,n2,,nl}KBm(0) m = \max \lbrace n_1, n_2, \cdots, n_l \rbrace \therefore K \subset B_m(0)
    • xK,Xm \therefore \forall x \in K, \Vert X \Vert \le m ,所以 K K 為有界集合。
    • Proof:(閉集合)
    • xRkK and yK,d(x,y)0 \forall x \in \mathbb{R}^k - K \text{ and } \forall y \in K, d(x,y) \ge 0 , also limn1/n=0 \lim_{n \rightarrow \infty}1/n = 0 .
    • K{RkB1/n(x)nN} \therefore K \subset \lbrace \mathbb{R}^k - \overline{B}_{1/n}(x) | n \in \mathbb{N} \rbrace
    • K \because K 為緊緻集,仿有界集合的方法,可找到 sNKRkB1/s(x) s \in \mathbb{N} \ni K \subset \mathbb{R}^k - \overline{B}_{1/s}(x)
    • yKd(y,x)1/s \forall y \in K \ni d(y,x) \ge 1/s ,因此 B1/s(x)RkK B_{1/s}(x) \subset \mathbb{R}^k - K
    • 所以 RkK \mathbb{R}^k - K Rk \mathbb{R}^k 的開集合,因此 K K 為閉集合(QED)。
    • Theorem:緊緻集第二個等價敘述
    • 因為緊緻集在歐式空間中與有界閉集合同義,所以可利用Bolzano-Weierstrass定理,使用聚集點的概念描述緊係性。
    • KRk K \subset \mathbb{R}^k 為緊緻集  K \Leftrightarrow \ K 的每個無限子集合都有一個聚集點屬於 K K .
    • Proof( \Rightarrow )
    • K K 為緊緻集,即 K K 為有界閉集合。
    • AK A \subset K 為無限子集合,因為 K K 為有界集合,所以 A A 為有界的無限子集合。
    • 依 Bolzano-Weierstrass定理, A A 有一個聚集合 x x ,因為 AK A \subset K ,所以 x x KK 的聚集合,又因為 K K 為閉集合,所以 xK x \in K .
    • Proof ( \Leftarrow )
    • K K 的每個無限子集合都有一個聚集點屬於 k k ,我們將根據這項性質證明 K K 是有界的閉集。
    • x x K K 的一個聚集點,則 nN,B1/n(x)K \forall n \in \mathbb{N}, B_{1/n} (x) \cap K 為無限集合。
    • 任選 xnB1/n(x)K{x} x_n \in B_{1/n}(x) \cap K - \lbrace x \rbrace ,依定義得 xnx x_n \neq x xnx1/n \Vert x_n - x \Vert \le 1/n
    • A={xnnN} A = \lbrace x_n | n \in \mathbb{N} \rbrace ,則 A A 為無限集合。
    • 假設 A A 有一個聚集點 yK y \in K ,若 yx y \neq x ,則當 n>2/xy n > 2 / \Vert x-y \Vert 時, xnyxyxxn>xy1/n>xy/2 \Vert x_n - y \Vert \geq \Vert x-y \Vert - \Vert x - x_n \Vert > \Vert x-y \Vert - 1/n > \Vert x-y \Vert / 2.
    • 這表示 y y 的鄰域 {zRkzy<xy/2} \lbrace z \in \mathbb{R}^k | \Vert z-y \Vert < \Vert x-y \Vert/2 \rbrace A A 只有有限多個交點,但聚集點的充要條件為其鄰域與集合應有無限多個交點,因此 y=x,xK y=x, x \in K
    • K K 的聚集合都屬於 K K ,因此 K K 為閉集合。[1]
    • 假設 K K 不為有界集合,則 nN \forall n \in \mathbb{N} ,都可找到 znKznn z_n \in K \ni \Vert z_n \Vert \geq n
    • c={znnN} c = \lbrace z_n | n \in \mathbb{N} \rbrace ,則 C C 為無限集合。
    • zRk \forall z \in \mathbb{R}^k ,因為當 nNn>1+z n \in \mathbb{N} \ni n > 1 + \Vert z \Vert時,滿足 znzznznz>1 \Vert z_n - z \Vert \geq \Vert z_n \Vert - \Vert z \Vert \geq n - \Vert z \Vert > 1 ,所以 z z 的鄰域 B1(z) B_1(z) C C 只有有限多個交點。
    • z z 不是 C C 的聚集點,換言之 K K 的無限子集 C C 沒有任何聚集合,此與假設不合,因此 K K 為有界集合 (QED)。
    • Theorem:緊緻集第三個等價敘述
    • KRk K \subset \mathbb{R}^k 為緊緻集  K \Leftrightarrow \ K 中的每個序列都有一個子序列收斂於 K K 中某一點。
    • Theorem:緊緻集第四個等價敘述
    • KRk K \subset \mathbb{R}^k 為緊緻集  {FαRkαI} \Leftrightarrow \ \lbrace F_\alpha \in \mathbb{R}^k | \alpha \in I \rbrace 為閉集合族,只要 I I 的每個有限子集合 {α1,α2,,αn} \lbrace \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n \rbrace 都滿足 [i=1nFαi]Kϕ \lbrack \cap_{i=1}^n F_{\alpha_i} \rbrack \cap K \neq \phi ,可得 [αIFα]Kϕ \lbrack \cap_{\alpha \in I} F_\alpha \rbrack \cap K \neq \phi .
    • Theorem:Cantor交集定理
    • {FnnN} \lbrace F_n | n \in \mathbb{N} \rbrace Rk \mathbb{R}^k 中的非空子集合所形成的可數族。
    • F1F2Fn F_1 \supset F_2 \supset \cdots \supset \cdots F_n \supset \cdots
    • n,Fn \forall n, F_n 為閉集合 且 F1 F_1 為有界集合
    • n=1Fnϕ \cap_{n=1}^{\infty} F_n \neq \phi .
    • Proof:
    • K=F1 K=F_1 ,則 K K 為緊緻集。
    • 另一方面,集合族 {FnnN} \lbrace F_n | n \in \mathbb{N} \rbrace 滿足上一個定理閉集族所需的性質,因此所有 Fn F_n 的交集不為空集合(QED)。

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