緊緻性及其等價敘述
定義:緊緻集(Compact set)
- K⊂Rk,若 K的每一個開覆蓋都存在一個有限的子覆蓋,則稱 K 為 Rk 的一個緊緻集。
Properties:
- Rk中, K為緊致集且 F為閉集,則 K∩F是緊緻集。
- Rk中,若 K1,K2,⋯,Kn都是緊緻集,則 ∪i=1nKi也是緊緻集
- R中,若 C1,c2,⋯,cn都是緊緻集,則 C1×C2×⋯timesCn是 Rn的緊緻集
- 若 A⊂Rk為有界集合,則其閉包A是緊緻集。
- 若 K⊂R為緊緻集,則 supK∈K and infK∈K
Theorem:Heine-Borel定理
- 由緊緻集的定義可知 Rk 中的有界閉集合都是緊緻集。
- Rk 中的有限集合都是有界閉集,因此 Rk 中的有限集合都是緊緻集。
Theorem:Heine-Borel逆定理
- Rk中的緊緻集都是有界的閉集合。
- Proof:(有界集合)
- K⊂Rk 為一緊緻集,因此 {Bn(0)⊂Rk∣n=n1,n2,⋯,nl∈setN}為開球集合族使得 K⊂Bn1(0)∪Bn2(0)∪⋯∪Bnl∣(0).
- 令 m=max{n1,n2,⋯,nl}∴K⊂Bm(0)。
- ∴∀x∈K,∥X∥≤m,所以 K為有界集合。
- Proof:(閉集合)
- ∀x∈Rk−K and ∀y∈K,d(x,y)≥0, also limn→∞1/n=0.
- ∴K⊂{Rk−B1/n(x)∣n∈N}。
- ∵K為緊緻集,仿有界集合的方法,可找到 s∈N∋K⊂Rk−B1/s(x)。
- ∀y∈K∋d(y,x)≥1/s,因此 B1/s(x)⊂Rk−K。
- 所以 Rk−K是 Rk 的開集合,因此 K為閉集合(QED)。
Theorem:緊緻集第二個等價敘述
- 因為緊緻集在歐式空間中與有界閉集合同義,所以可利用Bolzano-Weierstrass定理,使用聚集點的概念描述緊係性。
- K⊂Rk 為緊緻集 ⇔ K的每個無限子集合都有一個聚集點屬於 K.
- Proof( ⇒)
- 令 K 為緊緻集,即 K為有界閉集合。
- 若 A⊂K為無限子集合,因為 K 為有界集合,所以 A 為有界的無限子集合。
- 依 Bolzano-Weierstrass定理, A 有一個聚集合 x,因為 A⊂K,所以 x為 K的聚集合,又因為 K為閉集合,所以 x∈K.
- Proof ( ⇐)
- 令 K的每個無限子集合都有一個聚集點屬於 k,我們將根據這項性質證明 K是有界的閉集。
- 令 x 為 K 的一個聚集點,則 ∀n∈N,B1/n(x)∩K 為無限集合。
- 任選 xn∈B1/n(x)∩K−{x},依定義得 xn≠x 且 ∥xn−x∥≤1/n。
- 令 A={xn∣n∈N},則 A 為無限集合。
- 假設 A有一個聚集點 y∈K ,若 y≠x,則當 n>2/∥x−y∥時, ∥xn−y∥≥∥x−y∥−∥x−xn∥>∥x−y∥−1/n>∥x−y∥/2.
- 這表示 y 的鄰域 {z∈Rk∣∥z−y∥<∥x−y∥/2} 與 A只有有限多個交點,但聚集點的充要條件為其鄰域與集合應有無限多個交點,因此 y=x,x∈K。
- 即 K的聚集合都屬於 K,因此 K為閉集合。[1]
- 假設 K 不為有界集合,則 ∀n∈N,都可找到 zn∈K∋∥zn∥≥n。
- 令 c={zn∣n∈N},則 C 為無限集合。
- ∀z∈Rk,因為當 n∈N∋n>1+∥z∥時,滿足 ∥zn−z∥≥∥zn∥−∥z∥≥n−∥z∥>1,所以 z的鄰域 B1(z) 與 C 只有有限多個交點。
- 即 z不是 C的聚集點,換言之 K的無限子集 C 沒有任何聚集合,此與假設不合,因此 K 為有界集合 (QED)。
Theorem:緊緻集第三個等價敘述
- K⊂Rk為緊緻集 ⇔ K 中的每個序列都有一個子序列收斂於 K中某一點。
Theorem:緊緻集第四個等價敘述
- K⊂Rk 為緊緻集 ⇔ {Fα∈Rk∣α∈I} 為閉集合族,只要 I的每個有限子集合 {α1,α2,⋯,αn} 都滿足 [∩i=1nFαi]∩K≠ϕ,可得 [∩α∈IFα]∩K≠ϕ.
Theorem:Cantor交集定理
- {Fn∣n∈N} 是 Rk 中的非空子集合所形成的可數族。
- 若 F1⊃F2⊃⋯⊃⋯Fn⊃⋯
- 且 ∀n,Fn為閉集合 且 F1為有界集合
- 則 ∩n=1∞Fn≠ϕ.
- Proof:
- 令 K=F1,則 K為緊緻集。
- 另一方面,集合族 {Fn∣n∈N}滿足上一個定理閉集族所需的性質,因此所有 Fn的交集不為空集合(QED)。