Cantor set

從 $[0,1]$ 區間(interval)中，去除 $I_1 = \left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3} \right)$ 這個區間，此時剩下 $F_1 = \lbrack 0, \frac{1}{3} \rbrack \cup \lbrack \frac{2}{3}, 1\rbrack$ 。
再從 $\lbrack 0, \frac{1}{3} \rbrack$ 中，去除 $\left( \frac{1}{9}, \frac{2}{9} \right)$ ；從 $\lbrack \frac{2}{3}, 1 \rbrack$ 去除 $\left( \frac{7}{9}, \frac{8}{9} \right)$ ，令去除的區間 $I_2 = \left( \frac{1}{9}, \frac{2}{9} \right) \cup \left( \frac{7}{9}, \frac{8}{9} \right)$ ，此時剩下 $F_2 = \lbrack 0, \frac{1}{9} \rbrack \cup \lbrack \frac{2}{9}, \frac{1}{3} \rbrack \cup \lbrack \frac{2}{3}, \frac{7}{9} \rbrack \cup \lbrack \frac{8}{9}, 1 \rbrack$ .
以此類推得 $F_n = \cup_{k=1}^{2^n}I_{n,k}$ , $I_{n,k} = \lbrack a_{n,k}, b_{n,k} \rbrack$
則Cantor set $E = \cap_{n=1}^{\infty} F_n$ .
最後區間 $[0,1]$ 間剩下什麼元素? 所有的點是否會被挖掉?

觀察去除的區間
- $I_1 = \left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3} \right)$ .
- $I_2 = \left( \frac{1}{9}, \frac{2}{9} \right) \cup \left( \frac{7}{9}, \frac{8}{9} \right)$ .
- $I_3 = \left( \frac{1}{27}, \frac{2}{27} \right) \cup \left( \frac{7}{27}, \frac{8}{27}\right) \cup \left( \frac{19}{27}, \frac{20}{27} \right) \cup \left( \frac{25}{27}, \frac{26}{27} \right)$ .
- 可得出 $I_2$ 的第一個區間是 $I_1$ 的元素除以3所得，而第二個區間是將 $I_2$ 的第一個區間平移 $2/3$ 的結果，即 $I_2 = \left( \frac{1}{3} I_1 \right) \cup \left( \frac{1}{3}I_1 + \frac{2}{3} \right)$ .
- 同理可得 $I_3 = \left( \frac{1}{3}I_2 \cup \left( \frac{1}{3}I_2 + \frac{2}{3} \right) \right)$ .
- 歸納後可得出 $I_{n+1} = \left( \frac{1}{3} I_n \cup \left( \frac{1}{3} I_n + \frac{2}{3} \right) \right), \ \forall n \in \mathbb{N}$ .
- $\forall n \in \mathbb{N}$ ， $I_n$ 為 $2^{n-1}$ 個兩兩不相交的開區間之聯集，其中每個區間的長度均為 $\frac{1}{3^n}$ 。
- $I_n = \cap \left\{ \left( \sum_{k=1}^{n-1} \frac{a_k}{3^k} + \frac{1}{3^n}, \sum_{k=1}^{n-1} \frac{a_k}{3^k} + \frac{2}{3^n} \right) | a_1, \cdots, a_{n-1} = 0 \text{ or } 2 \right\}$
- $\forall n \in \mathbb{N}, x \in I_n \Leftrightarrow$ 在 $x$ 的三進位表示式 $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{a_k}{3^k}$ 中， $a_1, a_2, \cdots, a_{n-1} \in \left\{ 0, 2\right\}$ , $a_n = 1$ ，而 $a_{n+1}, a_{n+2} \cdots$ 不全為0，也不全為2。

Cantor集合的性質