Cantor set

  • [0,1][0,1]區間(interval)中,去除I1=(13,23)I_1 = \left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3} \right)這個區間,此時剩下F1=[0,13][23,1] F_1 = \lbrack 0, \frac{1}{3} \rbrack \cup \lbrack \frac{2}{3}, 1\rbrack

  • 再從[0,13]\lbrack 0, \frac{1}{3} \rbrack中,去除(19,29)\left( \frac{1}{9}, \frac{2}{9} \right);從[23,1]\lbrack \frac{2}{3}, 1 \rbrack去除 (79,89)\left( \frac{7}{9}, \frac{8}{9} \right),令去除的區間I2=(19,29)(79,89) I_2 = \left( \frac{1}{9}, \frac{2}{9} \right) \cup \left( \frac{7}{9}, \frac{8}{9} \right),此時剩下F2=[0,19][29,13][23,79][89,1]F_2 = \lbrack 0, \frac{1}{9} \rbrack \cup \lbrack \frac{2}{9}, \frac{1}{3} \rbrack \cup \lbrack \frac{2}{3}, \frac{7}{9} \rbrack \cup \lbrack \frac{8}{9}, 1 \rbrack.

  • 以此類推得Fn=k=12nIn,kF_n = \cup_{k=1}^{2^n}I_{n,k}, In,k=[an,k,bn,k]I_{n,k} = \lbrack a_{n,k}, b_{n,k} \rbrack

  • 則Cantor set E=n=1FnE = \cap_{n=1}^{\infty} F_n.

  • 最後區間[0,1] [0,1] 間剩下什麼元素? 所有的點是否會被挖掉?

Cantor集合,黑色是每次挖掉1/3後剩下的區間。
  • 觀察去除的區間

    • I1=(13,23) I_1 = \left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3} \right).
    • I2=(19,29)(79,89) I_2 = \left( \frac{1}{9}, \frac{2}{9} \right) \cup \left( \frac{7}{9}, \frac{8}{9} \right).
    • I3=(127,227)(727,827)(1927,2027)(2527,2627) I_3 = \left( \frac{1}{27}, \frac{2}{27} \right) \cup \left( \frac{7}{27}, \frac{8}{27}\right) \cup \left( \frac{19}{27}, \frac{20}{27} \right) \cup \left( \frac{25}{27}, \frac{26}{27} \right) .
    • 可得出I2 I_2 的第一個區間是I1 I_1 的元素除以3所得,而第二個區間是將I2 I_2 的第一個區間平移2/3 2/3 的結果,即I2=(13I1)(13I1+23) I_2 = \left( \frac{1}{3} I_1 \right) \cup \left( \frac{1}{3}I_1 + \frac{2}{3} \right) .
    • 同理可得I3=(13I2(13I2+23)) I_3 = \left( \frac{1}{3}I_2 \cup \left( \frac{1}{3}I_2 + \frac{2}{3} \right) \right) .
    • 歸納後可得出In+1=(13In(13In+23)), nN I_{n+1} = \left( \frac{1}{3} I_n \cup \left( \frac{1}{3} I_n + \frac{2}{3} \right) \right), \ \forall n \in \mathbb{N} .
    • Theorem:Cantor集合的間隙
    • nN \forall n \in \mathbb{N} In I_n 2n1 2^{n-1} 個兩兩不相交的開區間之聯集,其中每個區間的長度均為13n \frac{1}{3^n}
    • In={(k=1n1ak3k+13n,k=1n1ak3k+23n)a1,,an1=0 or 2} I_n = \cap \left\{ \left( \sum_{k=1}^{n-1} \frac{a_k}{3^k} + \frac{1}{3^n}, \sum_{k=1}^{n-1} \frac{a_k}{3^k} + \frac{2}{3^n} \right) | a_1, \cdots, a_{n-1} = 0 \text{ or } 2 \right\}
    • nN,xIn \forall n \in \mathbb{N}, x \in I_n \Leftrightarrow x x 的三進位表示式k=1ak3k \sum_{k=1}^{\infty} \frac{a_k}{3^k} 中,a1,a2,,an1{0,2} a_1, a_2, \cdots, a_{n-1} \in \left\{ 0, 2\right\} , an=1 a_n = 1 ,而an+1,an+2 a_{n+1}, a_{n+2} \cdots 不全為0,也不全為2。

Cantor集合的性質

    • Theorem:Cantor集合的性質
    • Cantor集合為不可數集。
    • Cantor集合的測度為0。
    • Cantor集合緊緻集(compact set)。
    • cantor集合是完全集。
    • Cantor集合是疏落集。
    • Cantor集合完全不連通集。

results matching ""

    No results matching ""