(積分)均值定理(Mean-value theorem)

• Theorem: 函數$\alpha:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$為遞增函數，且函數$f \in \mathbf{R}(\alpha)[a,b]$。

  • $M = \sup \lbrace f(x) \vert x \in [a,b] \rbrace$.
  • $m = \inf \lbrace f(x) \vert x \in [a,b] \rbrace$.
  • then $\exists c \in \mathbb{R},\ m \leq c \leq M \ni$
  • $\begin{array}{rcl} \int_a^b f(x) d \alpha(x) & = & c \int_a^b d \alpha(x) \\ & = & c[\alpha(b) - \alpha(a)]. \end{array}$
  • 若函數$f$在區間$[a,b]$連續時，$c = f(x_0)$ for some $x_0 \in [a,b]$.

• 

  • Proof:
  • 若$\alpha(a) = \alpha(b)$時，因為積分值為0，所以必定成立。
  • 考慮$\alpha(a) < \alpha(b)$，可得不等式：
  • $m[\alpha(b) - \alpha(a)] \leq L(P,f,\alpha) \leq U(P,f,\alpha) \leq M[\alpha(b) - \alpha(a)]$.
  • 因此 $m[\alpha(b) - \alpha(a)] \leq \int_a^b f d\alpha \leq M[\alpha(b) - \alpha(a)]$.
  • $\therefore m \leq \frac{\int_a^b f d\alpha}{\alpha(b) - \alpha(a)} \leq M, \ \int_a^b d\alpha(x) = \alpha(b) - \alpha(a)$.
  • $\therefore m \leq \frac{\int_a^b f d\alpha}{\int_a^b d \alpha(x)} \leq M$.(QED)
• Theorem: 函數$\alpha$為連續函數且函數$f$在區間$[a,b]$為遞增函數。$\exists x_0 \in [a,b] \ni \int_a^b f(x)d \alpha(x) = f(a) \int_a^{x_0} d \alpha(x) + f(b) \int_{x_0}^b d \alpha(x)$.
  • Proof:
  • 由分部積分 $\int_a^b f(x) d \alpha(x) = f(b)\alpha(b) - f(a)\alpha(a) - \int_a^b \alpha(x)df(x).$
  • 由均值定理得 $\int_a^b f(x) d \alpha(x) = f(a)[\alpha(x_0) - \alpha(a)] + f(b)[\alpha(b) - \alpha(x_0)].\ x_0 \in [a,b].$ (QED).

積分為區間長度的函數

• Theorem: 函數$\alpha: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$為有界變分，且函數$f \in \mathbf{RS}(\alpha)[a,b]$。令函數$F(x) = \int_a^x f d \alpha, \ x \in [a,b]$.可得
  1. $F$在區間$[a,b]$為有界變分。
  2. 在函數$\alpha$上連續的點，在函數$F$上也連續。
  3. 若函數$\alpha:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$為遞增函數，當$\forall x \in (a,b)$，$\alpha^{'}(x)$存在且$f$為連續函數時，微分函數$F^{'}(x)$存在，且$F^{'}(x) = f(x) \alpha^{'}(x)$.
  • Proof(1)(2):
  • 假設$\alpha$在$[a,b]$為遞增函數，所以$\alpha$在此區間為有界變分。
  • 若 $x \neq y$，根據MVT可得$F(y) - F(x) = \int_x^y f d \alpha = c[\alpha(y) - \alpha(x)],\ m \leq c \leq M$[1].
  • $m = \inf \{ f(x) | x \in [a,b] \},\ m = \sup \{f(x) | x \in [a,b] \}$.
  • 由[1]可得$F$為有界變分且連續 (QED)。
  • Proof (3):
  • 將[1]兩側除以$y-x$ 且觀察$c \rightarrow f(x)$ as $y \rightarrow x$ (QED)。

微積分第二基本定理(Second fundmanetal theorem of calculus)

• 令函數$f\in \mathbf{RS}[a,b]$；函數$g:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$，且其微分$g^{'}(x) = f(x), \forall x \in (a,b)$存在。端點值$g(a+),\ g(b-)$存在且滿足$g(a) - g(a+) = g(b) - g(b-)$，則可得$\int_a^b f(x) dx = \int_a^b g^{'}(x) dx = g(b) - g(a)$.
  • Proof:
  • 對於$[a,b]$的任意分割，可得下式

  • $\begin{array}{rcl} g(b) - g(a) & = & \sum_{k=1}^n [g(x_k) - g(x_{k-1})] \\ & = & \sum_{k=1}^n g^{'}(t_k) \Delta x_k \\ (by MVT) & = & \sum_{k=1}^n f(t_k) \Delta x_k. \\ & & t_k \in (x_{k-1}, x_k). \end{array}$

  • Given $\epsilon > 0$, 分割切的更細後可得以下性質

  • $\left| g(b) - g(a) -\int_a^b f(x) dx \right| = \left| \sum_{k=1}^n f(t_k) \Delta x_k - \int_a^b f(x) dx \right| < \epsilon$ (QED)

• 函數$f \in \mathbf{RS}(\alpha)[a,b]$，函數$\alpha \in \mathbf{C}[a,b]$且其微分$\alpha^{'} \in \mathbf{R}[a,b]$，則下式存在 $\int_a^b f(x) d\alpha(x) = \int_a^b f(x) \alpha^{'}(x) dx$.
  • Proof:
  • 由第二基本定理知$\forall x \in [a,b], \ \alpha(x) - \alpha(a) = \int_a^x \alpha^{'}(t) dt$。
  • 由變數變換可得到結果(QED).

Riemann積分變數變換

• $\int_{g(c)}^{g(d)} f(x) dx = \int_c^d f[g(t)]g^{'}(t) dt$
• 函數$g \in \mathbf{C}[a,b]$，且微分$g^{'} \in \mathbf{C}[a,b]$存在。函數$f \in \mathbf{C}[c,d]$且定義$F(x) = \int_{g(c)}^x f(t) dt, \ x \in g([c,d])$。則 $\forall x \in [c,d]$，積分$\int_c^x f[g(t)]g^{'}(t) dt$存在且$\int_{g(c)}^{g(d)} f(x) dx = \int_c^d f[g(t)]g^{'}(t) dt$.

Riemann第二積分均值定理

• 函數$f,\ g \in \mathbf{C}[a,b]$，且$f$在此區間為遞增函數。令$A, B \in \mathbb{R}$滿足$A \leq f(a+) \text{ and } B \geq f(b-)$，則 $\exists x_0 \in [a,b] \ni$
  1. $\int_a^b f(x) g(x) dx = A \int_a^{x_0} g(x) dx + B \int_{x_0}^b g(x) dx.$
  2. (Bonnet's theorem) if $f(x) \geq 0,\ \forall x \in [a,b]$ then $\int_a^b f(x) g(x) dx = B \int_{x_0}^b g(x) dx , \ x_0 \in [a,b].$
  • Proof (1):
  • 令$\alpha(x) = \int_a^x g(t) dt$，則$\alpha^{'} = g$。
  • 根據MVT可得$\int_a^b f(x) g(x) dx = f(a) \int^a_{x_0} g(x) dx + f(b) \int_{x_0}^b g(x) dx$.
  • 若$A = f(a)$且$B=f(b)$，則(1) 成立。(QED).
  • Proof (2), 因為改變函數單點的值不會影響積分的結果，令$A=0$得證(QED)。

Riemann-Stieltjes積分為函數

• 在二重積分時，函數$f(x,y)$給定不同的$y=y_0$所對應的到的積分區域均不相同，所以此時積分為$y$的函數；同理給定$x=x_0$也會得到不同的積分區域。

• • 函數$f$在長方形區間$Q=\{ (x,y) | a \leq x \leq b,\ c \leq y \leq d \}$連續。
  • 假設函數$\alpha$在區間$[a,b]$為有界變分，且函數$F(y)=\int_a^b f(x,y)d \alpha(x),\ y \in [c,d].$，則$F \in \mathbf{C}[c,d]$
  • 可解釋為$y_0 \in [c,d]$, 則 $\lim_{y \rightarrow y_0} \int_a^b f(x,y) d \alpha(x) = \int_a^b \lim_{y \rightarrow y_0} f(x,y) d \alpha(x) = \int_a^b f(x, y_0) d\alpha(x)$
  .
  • Proof:
  • 令$\alpha:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$為遞增函數。
  • 因為$Q$為compact set，所以$f$為uniformly continuous on $Q$。
  • $\therefore \forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0 \ni z_1=(x_1,y_1),\ z_2=(x_2,y_2),\ |z_1 - z_2| < \delta, \ |f(x_1, y_1) - f(x_2, y_2) | < \epsilon$.
  • If $|y_1 - y_2 | < \delta$，可得$| F(y_1) - F(y_2)| \leq \int_a^b |f(x_1, y_1) - f(x_2, y_2) |d \alpha(x) \leq \epsilon [\alpha(b) - \alpha(a)]$。
  • 所以$F \in \mathbf{C}[a,b]$(QED).

• • 函數$f \in \mathbf{C}[a,b] \times [c,d]$
  • 函數$g: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$
  • 定義函數$F(y) = \int_a^b g(x) f(x,y) dx \in \mathbf{C}[c,d]$，即$\forall y_0 \in [c,d], \ \lim_{y \rightarrow y_0} \int_a^b g(x) f(x,y)dx = \int_a^b g(x) f(x,y_0)dx.$
  • Proof:
  • Let $G(x) = \int_a^x g(t) dt$，則$F(y) = \int_a^b f(x,y) d G(x)$。(QED)

在積分內的微分

• • $Q = \{(x,y)| a \leq x \leq b, \ c \leq y \leq d \}$
  • 函數$\alpha:Q \rightarrow \mathbb{R}$在$[a,b]$為有界變分，但是在$[c,d]$為定值。
  • 假設積分$F(y) = \int_a^b f(x,y) d\alpha(x) < \infty$
  • 若偏微分$D_yf$在$Q$連續，則微分值存在且$\forall y \in [c,d], \ F^{'}(y) = \int_a^b D_y f(x,y) d \alpha(x)$
  • Proof:
  • If $y_0 \in (c,d), \ y \neq y_0$, then
  • $\frac{F(y) - F(y_0)}{y-y_0} = \int_a^b \frac{f(x,y) - f(x, y_0)}{y - y_0} d \alpha(x) = \int_a^b D_y f(x,y_1) d \alpha(x),\ y_1 \in [y, y_0]$.
  • 因為$D_y f$在$Q$連續，因此得證(QED).

變更積分順序

• • $Q = \{ (x,y) | a \leq x \leq b, c \leq y \leq d\}$。
  • 函數$\alpha:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$為有界變分，且函數$\beta: [c,d] \rightarrow \mathbb{R}$也是有界變分，函數$f \in \mathbf{C}(Q)$
  • 令$F(y) = \int_a^b f(x,y) d \alpha(x), \ G(x) = \int_c^d f(x,y) d \beta(y)$
  • 則$F \in \mathbf{RS}(\beta)[c,d], \ G \in \mathbf{RS}(\alpha)[a,b]$ 且$\int_c^d F(y) d \beta(y) = \int_a^b G(x) d \alpha(x)$
  • 即$\int_a^b \left[ \int_c^d f(x,y) d \beta(y) \right] d \alpha(x) = \int_c^d \left[ \int_a^b f(x,y) d \alpha(x) \right] d \beta(y)$