級數 (Series)

  • 定義: 級數(series)
    • 給定序列 {an}\lbrace a_n \rbrace, 則(無窮)級數為 n=1an\sum_{n=1}^{\infty} a_n.
    • 此級數之部份和為 sn=k=1nans_n = \sum_{k=1}^{n} a_n.
    • 此級數收斂若 limnsn=s\lim_{n \rightarrow \infty} s_n = s, 常寫為 n=1an=s\sum_{n=1}^{\infty} a_n = s.
  • The Cauchy critertion
  • n=1an\sum_{n=1}^{\infty} a_n converges \Leftrightarrow ϵ>0\forall \epsilon > 0 n0N\exists n_0 \in \mathbb{N} \ni k=nmakϵ\vert \sum_{k=n}^m a_k \vert \leq \epsilon m,nn0\forall m, n \geq n_0.
  • Let m=nm=n, then anϵ\vert a_n \vert \leq \epsilon nn0\forall n \geq n_0 \Rightarrow limnan=0\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = 0.
  • 級數收斂的必要條件是數列必須收斂至0。(可解釋為如果在無窮多項時,數列之值仍不為0,則累加之值必須持續上升而發散。)
  • 反之數列收斂為0無法保證級數收斂。
  • E.g. limn1n=0\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} = 0, but n=11n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} diverges.
  • Definition: 絕對收斂(absolute convergence)
  • The series n=1an\sum_{n=1}^{\infty} a_n is said to converge absolutely if the series n=1an\sum_{n=1}^{\infty} \vert a_n \vert converges (i.e. n=1an\sum_{n=1}^{\infty} \vert a_n \vert \leq \infty)..
  • 由定義可知 an\sum \vert a_n \vert \leq \infty \Rightarrow an\sum a_n \leq \infty. (anan \because \vert \sum a_n \vert \leq \sum \vert a_n \vert ).
  • 反之不成立,E.g. (1)nn\sum \frac{(-1)^n}{n}.
  • 對於每一個均為正值的數列,絕對收斂等價於一般的收斂 (an0an=ana_n \geq 0 \Leftrightarrow \vert a_n \vert = a_n)。

序列重排 (Series rearrangements)

  • 序列重排是將原數列ana_n的部份元素調換順序後形成的新數列ana_n^{'},因此可以在兩數列中找到一個1-to-1 function。
  • 如果sn=k=mnans_n=\sum_{k=m}^n a_nsn=k=mnaks_n^{'} = \sum_{k=m}^{n} a_k^{'}為兩數列的partial sum,可知在大部分的情況下snsns_n \neq s_n^{'}.
  • Theorem: 若級數an\sum a_n收斂,但非絕對收斂,則重排後的級數an\sum a_n^{'}可能會收斂到任意值,或是不收斂。
  • Let an\sum a_n be a series of real numbers, which converges but not absolute converges. Suppose that ab-\infty \leq a \leq b \leq \infty, then there exists a rearrangement an\sum a_n^{'} with the partial sum sns_n^{'} such that liminfnsn=a\lim \inf_{n \rightarrow \infty} s_n^{'} = a and limsupnsn=b\lim \sup_{n \rightarrow \infty} s_n^{'} = b.
  • Theorem: 絕對收斂的級數,經過序列重排後,仍然收斂到相同值。
  • If an\sum a_n is a series of complex numbers which converges absolutely, then every rearrangement of an\sum a_n converges and they all converges to the same sum.

級數審斂法 (Series test)

  • Exponential number e=n=01n!e=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}
  • limn(1+1n)n=e\lim_{n \rightarrow \infty} (1+\frac{1}{n})^n=e.

根值審斂法 (root test)

  • Given an\sum a_n, let limsupnan1/n=a\lim \sup_{n \rightarrow \infty} {\vert a_n \vert}^{1/n} = a then
  • If a<1a < 1, an\sum a_n converges.
  • If a>1a > 1, an\sum a_n diverges.
  • If a=1a=1, the test gives no information.
  • 實際使用此法時,取a=limnan1/na=\lim_{n \rightarrow \infty} {\vert a_n \vert}^{1/n}.

比例審斂法 (Ratio test)

  • Given an\sum a_n, then
  • if limsupnan+1an<1\lim \sup_{n \rightarrow \infty} \vert \frac{a_{n+1}}{a_n} \vert < 1, an \sum a_n converges.
  • If an+1an1\vert \frac{a_{n+1}}{a_n}\vert \geq 1 for nn0n \geq n_0, an \sum a_n diverges.
  • Ratio test比root test更直覺且容易計算,但root test的用途更廣。
  • Theorem: For any sequence {cn}\lbrace c_n \rbrace of positive numbers
  • liminfncn+1cnliminfncn1/n\lim \inf_{n \rightarrow \infty} \frac{c_{n+1}}{c_n} \leq \lim \inf_{n \rightarrow \infty}{c_n}^{1/n}.
  • limsupncn1/nlimsupncn+1cn\lim \sup_{n \rightarrow \infty} {c_n}^{1/n} \leq \lim \sup_{n \rightarrow \infty} \frac{c_{n+1}}{c_n}.
  • 此定理說明了若比例審斂法收斂 \Rightarrow 根值審斂法也收斂。

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