級數 (Series)

• 定義: 級數(series)

  • 給定序列 $\lbrace a_n \rbrace$, 則(無窮)級數為 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$.
  • 此級數之部份和為 $s_n = \sum_{k=1}^{n} a_n$.
  • 此級數收斂若 $\lim_{n \rightarrow \infty} s_n = s$, 常寫為 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n = s$.

• The Cauchy critertion

• $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ converges $\Leftrightarrow$ $\forall \epsilon > 0$ $\exists n_0 \in \mathbb{N}$ $\ni$ $\vert \sum_{k=n}^m a_k \vert \leq \epsilon$ $\forall m, n \geq n_0$.

• Let $m=n$, then $\vert a_n \vert \leq \epsilon$ $\forall n \geq n_0$ $\Rightarrow$ $\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = 0$.

• 級數收斂的必要條件是數列必須收斂至0。(可解釋為如果在無窮多項時，數列之值仍不為0，則累加之值必須持續上升而發散。)

• 反之數列收斂為0無法保證級數收斂。

• E.g. $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} = 0$, but $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ diverges.

• Definition: 絕對收斂(absolute convergence)

• The series $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ is said to converge absolutely if the series $\sum_{n=1}^{\infty} \vert a_n \vert$ converges (i.e. $\sum_{n=1}^{\infty} \vert a_n \vert \leq \infty$)..

• 由定義可知 $\sum \vert a_n \vert \leq \infty$ $\Rightarrow$ $\sum a_n \leq \infty$. ($\because \vert \sum a_n \vert \leq \sum \vert a_n \vert$).

• 反之不成立，E.g. $\sum \frac{(-1)^n}{n}$.

• 對於每一個均為正值的數列，絕對收斂等價於一般的收斂 ($a_n \geq 0 \Leftrightarrow \vert a_n \vert = a_n$)。

序列重排 (Series rearrangements)

• 序列重排是將原數列$a_n$的部份元素調換順序後形成的新數列$a_n^{'}$，因此可以在兩數列中找到一個1-to-1 function。

• 如果$s_n=\sum_{k=m}^n a_n$且$s_n^{'} = \sum_{k=m}^{n} a_k^{'}$為兩數列的partial sum，可知在大部分的情況下$s_n \neq s_n^{'}$.

• Theorem: 若級數$\sum a_n$收斂，但非絕對收斂，則重排後的級數$\sum a_n^{'}$可能會收斂到任意值，或是不收斂。

• Let $\sum a_n$ be a series of real numbers, which converges but not absolute converges. Suppose that $-\infty \leq a \leq b \leq \infty$, then there exists a rearrangement $\sum a_n^{'}$ with the partial sum $s_n^{'}$ such that $\lim \inf_{n \rightarrow \infty} s_n^{'} = a$ and $\lim \sup_{n \rightarrow \infty} s_n^{'} = b$.

• Theorem: 絕對收斂的級數，經過序列重排後，仍然收斂到相同值。

• If $\sum a_n$ is a series of complex numbers which converges absolutely, then every rearrangement of $\sum a_n$ converges and they all converges to the same sum.

級數審斂法 (Series test)

• Exponential number $e=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}$

• $\lim_{n \rightarrow \infty} (1+\frac{1}{n})^n=e$.

根值審斂法 (root test)

• Given $\sum a_n$, let $\lim \sup_{n \rightarrow \infty} {\vert a_n \vert}^{1/n} = a$ then

• If $a < 1$, $\sum a_n$ converges.

• If $a > 1$, $\sum a_n$ diverges.

• If $a=1$, the test gives no information.

• 實際使用此法時，取$a=\lim_{n \rightarrow \infty} {\vert a_n \vert}^{1/n}$.

比例審斂法 (Ratio test)

• Given $\sum a_n$, then

• if $\lim \sup_{n \rightarrow \infty} \vert \frac{a_{n+1}}{a_n} \vert < 1$, $\sum a_n$ converges.

• If $\vert \frac{a_{n+1}}{a_n}\vert \geq 1$ for $n \geq n_0$, $\sum a_n$ diverges.

• Ratio test比root test更直覺且容易計算，但root test的用途更廣。

• Theorem: For any sequence $\lbrace c_n \rbrace$ of positive numbers

• $\lim \inf_{n \rightarrow \infty} \frac{c_{n+1}}{c_n} \leq \lim \inf_{n \rightarrow \infty}{c_n}^{1/n}$.

• $\lim \sup_{n \rightarrow \infty} {c_n}^{1/n} \leq \lim \sup_{n \rightarrow \infty} \frac{c_{n+1}}{c_n}$.

• 此定理說明了若比例審斂法收斂 $\Rightarrow$ 根值審斂法也收斂。