向量函數的微分 (Derivative of vector-values function)

令函數 $\mathbf{f}: (a,b) \rightarrow \mathbb{R}^{n}$ $f : (a, b) \to R^{ n }$ , $\mathbf{f} = (f_1, f_2, \cdots, f_n)$ $f = (f^{ 1 }, f^{ 2 }, \dots, f^{ n })$ and $f_k: (a,b) \rightarrow \mathbb{R}, \ \forall k$ $f^{ k } : (a, b) \to R, \forall k$ .
- $\mathbf{f}$ 在點 $c \in (a,b)$ 可微若 $f_k^{'}(c) < \infty,\ \forall k$ ，即每一個維度都必須可微分.
- $\mathbf{f}^{'}(c) = (f_1^{'}(c), f_2^{'}(c), \cdots, f_n^{'}(c)$ .

偏微分(Partial derivative)

$S \subseteq \mathbb{R}^{n}$ $S \subseteq R^{ n }$ 為開集合，函數 $f: S \rightarrow \mathbb{R}$ $f : S \to R$ ，令 $\mathbf{x, c} \in S$ $x, c \in S$ , $\mathbf{x} = (x_1, x_2, \cdots, x_n), \ \mathbf{c} = (c_1, c_2, \cdots, c_n)$ $x = (x^{ 1 }, x^{ 2 }, \dots, x^{ n }), c = (c^{ 1 }, c^{ 2 }, \dots, c^{ n })$ ，且兩向量間只有第 $k$ $k$ 個維度不同，其它維度均相同(即 $x_i = c_i, \ \forall i \neq k$ $x^{ i } = c^{ i }, \forall i \neq k$ 且 $x_k \neq c_k$ $x^{ k } \neq c^{ k }$ )，則對第 $k$ $k$ 個維度的偏微分如下：
- $\frac{\partial f}{\partial x_k}(\mathbf{c}) = \lim_{x_k \rightarrow c_k} \frac{f(\mathbf{x}) - f(\mathbf{c} )}{x_k - c_k}$ .
- 其它常用符號為 $D_k f(\mathbf{c})$ .