向量函數的微分 (Derivative of vector-values function)
- 令函數f:(a,b)→Rn, f=(f1,f2,⋯,fn) and fk:(a,b)→R, ∀k.
- f在點c∈(a,b)可微若fk′(c)<∞, ∀k,即每一個維度都必須可微分.
- f′(c)=(f1′(c),f2′(c),⋯,fn′(c).
偏微分(Partial derivative)
- S⊆Rn為開集合,函數f:S→R,令x,c∈S, x=(x1,x2,⋯,xn), c=(c1,c2,⋯,cn),且兩向量間只有第k個維度不同,其它維度均相同(即xi=ci, ∀i≠k且xk≠ck),則對第k個維度的偏微分如下:
- ∂xk∂f(c)=limxk→ckxk−ckf(x)−f(c).
- 其它常用符號為Dkf(c).