閉集合 (Close set)

• 在觀念上，閉集合是開集合的餘集，但在結構上，閉集合有許多特殊的性質。
• 定義：閉集(close set)
  • $S \subset \mathbb{R}^k$，若 $\mathbb{R}^k - S$為開集合時，則 $S$為閉集合。

• 由於閉集合的餘集是開集，利用De Morgan定理，有以下性質：

  • $\phi, \mathbb{R}^k$都是 $\mathbb{R}^k$中的閉集合 (兩者同時也是開集合，因為互為補集合)。
  • $\mathbb{R}^k$ 任一組(有限或無限集均滿足)閉集合的交集仍是 $\mathbb{R}^k$中的閉集合。
  • $\mathbb{R}^k$中的有限多個閉集合的聯集，仍是 $\mathbb{R}^k$ 中的閉集。(無窮多個閉集的聯集，可能會變成開集合)。

• E.g. $\forall n \in \mathbb{N}, \because (-\infty, 1/n)$是開集合，所以 $[1/n, \infty)$是閉集合，但這些閉集合的聯集為 $(0,\infty)$為開集合。

• 除了餘集的定義外，也可以用邊界點來判定閉集。

• Theorem:閉集合與邊界點
  • $S \subset \mathbb{R}^k$ 為閉集合 $\Leftrightarrow \ S$的每個邊界點都屬於 $S$。
  • 即 $S^b \subset S$。
  • 此定理告訴我們開集與閉集合的重要差異：開集合不包含其任何邊界點，而閉集合包含其所有邊界點。
  • Proof ( $\Rightarrow$)
  • 設 $S$為閉集合，則 $\mathbb{R}^k -S$為開集合，$\therefore \forall x \in \mathbb{R}^k - S$，因為 $\mathbb{R}^k - S$為 $x$的開鄰域，且 $\mathbb{R}^k - S \cap S = \phi$，依定義可知 $x \notin S^b$。
  • $\therefore \mathbb{R}^k - S \subset \mathbb{R}^k - S^b \Rightarrow S^b \subset S$ (QED).

  • ---

  • Proof ( $\Leftarrow$)
  • 設 $S^b \subset S$，則 $\forall x \in \mathbb{R}^k - S \Rightarrow x \notin S^b$，即 $x$ 不是 $S$的邊界點。
  • 依邊界點定義必可找到 $r > 0 \ni B_r(x) \cap S = \phi \text{ or } B_r(x) \cap ( \mathbb{R}^k - S) = \phi$。
  • $\because x \in B_r(x) \cap ( \mathbb{R}^k - S), \therefore B_r(x) \cap S = \phi \Rightarrow B_r(x) \subset \mathbb{R}^k - S$.
  • 所以 $\mathbb{R}^k - S$為 $\mathbb{R}^k$的開集，因此 $S$為閉集合。(QED)。
• Theorem:在 $\mathbb{R}^k$中，有限集合都是閉集合。
  • Proof:
  • 令 $S \subset \mathbb{R}^k$ 為有限集合。
  • $\forall x \in \mathbb{R}^k - S$，任選 $r > 0$ 使得 $S$每個點至 $x$的距離都大於 $r$，則 $B_r(x) \subset \mathbb{R}^k - S$。
  • 因此 $\mathbb{R}^k - S$是開集合， $S$為閉集合。(QED)

聚集點與導集(accumultion point and derived set)

• 定義：聚集點與導集
  • $S \subset \mathbb{R}^k,\ x \in \mathbb{R}^k$.
  • 若 $x$的每個鄰域 $N$ 都滿足 $N \cap S - \lbrace x \rbrace \neq \phi$，則稱 $x$為集合 $S$的一個聚集點(accumulation point or cluster point).
  • $x$可能位於 $S$的內側或外側(依定義，外側最遠只能到邊界)。
  • 集合 $S$ 的所有聚集合所成的集合稱為集合 $S$的導集(derived set)，以 $S^d$表示。
  • 由定義可知聚集點為集合中可與除了自已外的其它點無窮接近的點，因此在連續集合中，內點與邊界點都是聚集點。
• Theorem:閉集合與聚集點
  • $S \subset \mathbb{R}^k$為閉集合 $\Leftrightarrow S$的每個聚集點都屬於 $S$，即 $S^d \subset S$
  • 邊界點與聚集合概念類似，但為不一樣的概念。
  • Proof ( $\Rightarrow$)
  • 設 $S$ 為閉集合，則 $\forall x \in \mathbb{R}^k - S$， $\mathbb{R}^k - S$為 $x$的開鄰域，且 $( \mathbb{R}^k - S) \cap S = \phi$，所以 $x$不是 $S$的聚集點。
  • 因此 $\mathbb{R}^k - S \subset \mathbb{R}^k - S^d \Rightarrow S^d \subset S$.(QED).

  • ---

  • Proof ( $\Leftarrow$)
  • 設 $S^d \subset S$， 則 $x \in \mathbb{R}^k - S, \ x \notin S^d$，即 $x$ 不是 $S$的聚集點。
  • 依定義可找到 $r > 0 \ni B_r(x) \cap S = \phi \text{ or } B_r(x) \subset \mathbb{R}^k - S$.
  • 所以 $\mathbb{R}^k - S$是 $\mathbb{R}^k$的開集合，所以 $S$是 閉集合。(QED)。

• E.g. 在實數 $\mathbb{R}$中，自然數 $\mathbb{N}$中每個點都是邊界點，都是 $\mathbb{N}$沒有聚集點( $\because \mathbb{N}$中的每個點均與其它點間隔至少為1，不能無窮接近)。

• E.g. 在實數 $\mathbb{R}$ 中，每個點都是聚集點，但是 $\mathbb{R}$沒有邊界點。
• E.g. 在實數 $\mathbb{R}$中，每個點都是有理數 $\mathbb{Q}$的聚集點，每個點也都是有理數的邊界點。

• 定義：孤立點（isolated point)
  • $A \subset \mathbb{R}^k$, 若 $x \in A$ 但是 $x \notin A^d$，則稱 $x$為孤立點。
• Properties
  • 任何集合的孤立點至多為可數個。

Bolzano-Weierstrass定理

• Theorem:Bolzano-Weierstrass定理
  • 在 $\mathbb{R}^k$中，每個有界的無限集合都有聚集點。
  • 此為聚集點存在性的重要定理。
  • 此定理與實數係的完備性等價。
  • Proof:
  • 設 $S \subset \mathbb{R}^k$為有界無限集合。
  • 因為 $S$ 有界，所以存在 $k$ 維閉區間 $I_1 = [a_{11}, b_{11}] \times [a_{12}, b_{12}] \times \cdots \times [a_{1k}, b_{1k}]$，使得 $S \subset I_1$。
  • 將 $I_1$的每一個維度都平分成兩個閉區間 $[a_{1i}, (a_{1i} + b_{1i})/2] \text{ and } [(a_{1i} + b_{1i} )/2 , b_{1i}],\ i=1,2,\cdots, k$.

  • 從兩個閉區間中任選一個做積集合，因此可得 $2^k$種 $k$維閉區間， $\Pi_{i=1}^k [a_{1i} + (t_i -1)(b_{1i}-a_{1i})/2, a_{1i} + t_i(b_{1i} - a_{1i})/2], \ i=1,2,\cdots, k, \ t_i = \lbrace 1,2 \rbrace$。

  • 因為無限集合 $S$ 包含在這 $2^k$個 $k$維閉區間的聯集中，所以其中至少有一個 $k$維閉區間包含了集合 $S$的無限多個點。

  • 由其中選擇包含了無限多點的 $k$ 元閉區間 $I_2 = [a_{21},b_{21}] \times \cdots \times [a_{2k},b_{2k}]$，則 $I_2 \subset I_1$，且 $I_2 \cap S$為無限集， $b_{2i} - a_{2i} = (b_{1i} - a_{1i})/2,\ i =1,2,\cdots, k$.

  • 接著對 $k$ 維閉區間 $I_2$ 做相同工作，即將 $I_2$的每一維(邊）平分再得出 $2^k$個 $k$維閉區間，因 $I_2 \cap S$為無限集合，因此這 $2^k$個 $k$ 維閉區間中，至少有一個包含了集合 $S$的無限多個點，令此閉區間為 $I_3 = [a_{31}, b_{31}] \times \cdots \times [a_{3k}, b_{3k}]$，則 $I_3 \subset I_2$，且 $I_3 \cap S$ 為無限集合， $b_{3i} - a_{3i} = (b_{1i} - a_{1i})/4,\ i=1,2,\cdots, k$.

  • 延續此步驟，可得出一個在 $\mathbb{R}^k$中的 $k$維閉區間所成的遞減序列 $I_1 \supset I_2 \supset \cdots \supset I_n \supset$，且 $\forall n \in \mathbb{N},\ I_n \cap S$為無限集合。
  • 若 $I_n = [a_{n1}, b_{n1}] \times [a_{n2}, b_{n2}] \times \cdots \times [a_{nk}, b_{nk}]$, 則 $b_{ni} - a_{ni} = \frac{b_{1i} - a_{1i}}{2^{n-1}},\ i=1,2,\cdots, k$.
  • $\forall i \in \mathbb{N}, \because [a_{1i}, b_{1i}] \supset [a_{2i}, b_{2i}] \supset \cdots \supset [a_{ni}, b_{ni}] \supset$是由一維閉區間所成的遞減序列，且 $\lim_{n \rightarrow \infty}(b_{ni} - a_{ni}) = 0$。
  • 由區間套定理(實數的完備性）可知恰有一實數 $c_i \in [a_{ni}, b_{ni}],\ \forall n \in \mathbb{N}$.
  • 令 $c = (c_1, c_2, \cdots, c_k)$，則 $\forall n \in \mathbb{N}, c \in I_n$ [1].
  • 以下將證明 $c$ 為集合 $S$的一個聚集點。
  • $\forall r > 0, \because \lim_{n \rightarrow \infty}(b_{n1} - a_{n1}) = \lim_{n \rightarrow \infty}(b_{n2} - a_{n2}) = \cdots = \lim_{n \rightarrow \infty}(b_{nk} - a_{nk}) = 0$，所以可找到一個 $n \in \mathbb{N} \ni \forall i = 1,2, \cdots, k,\ 0 < b_{ni} - a_{ni} < r/ \sqrt{k}$.
  • $\therefore \forall x \in I_n, x=(x_1, x_2, \cdots, x_k)$, $\Vert x-c \Vert = \sqrt{\sum_{i=1}^k (x_i - c_i)^2} \leq \sqrt{\sum_{i=1}^{k} (b_{ni} - a_{ni})^2 } < r$.
  • 由此可知 $I_n \subset B_r(c)$，因為 $I_n \cap S$ 為無限集，所以 $B_r(c) \cap S$也為無限集，且 $B_r(c) \cap S - \lbrace c \rbrace \neq \phi$。
  • 所以 $c$ 為集合 $S$的聚集點。(QED)

• 在 $k=1$時的Bolzano-Weierstrass定理，很容易得到實數中的有界單調數列會收斂。

• Theorem:聚集點的充要條件
  • $S \subset \mathbb{R}^k$ 且 $x \in \mathbb{R}^k$，則 $x$為 集合 $S$ 的聚集點 $\Leftrightarrow \ x$的每個鄰域都與集合 $S$有無窮多個交點。

閉包(Closure)

• 定義：閉包
  • $S \subset \mathbb{R}^k$，則 $S \cup S^d$(導集) 稱為集合 $S$的閉包，以 $\overline{S}$表示。
  • 閉包為集合本身聯集其所有聚集點所形成的集合。
  • 閉包與閉集合的關係為閉包 $\overline{S}$是包含集合 $S$的最小閉集合。
• Theorem:閉包的性質
  1. $x \in \overline{S} \Leftrightarrow \ x$的每個鄰域都與 $S$相交。
  2. $\overline{S}$為閉集合。
  3. $\overline{S} = S \Leftrightarrow S$為閉集合。
  4. $S \subset \mathbb{R}^k$為閉集合且 $Q \subset S \Rightarrow \overline{Q} \subset S$，由此可知 $overline{Q}$是包含 $Q$的所有閉集中最小的一個。
  5. $\overline{S}^d = S^d$.
  6. $Q \subset S \Rightarrow \overline{Q} \subset \overline{S}$.
  7. $\overline{ S \cup Q} = \overline{S} \cup \overline{Q}$.
  • Proof (1)( $\Rightarrow$)
  • 假設 $x \in \overline{S}$ 且 $N$ 為 $x$ 的鄰域。
  • 若 $x \in S$，則 $x \in S \cap N$。
  • 若 $x \in S^d$，則 $N \cap S - \lbrace x \rbrace \neq \phi$。
  • 因此不論何種情形均可得 $N \cap S \neq \phi$.
  • ( $\Leftarrow$)
  • 若 $x$ 的每個鄰域均與 $S$ 相交。 若 $x \notin S$，則表示 $x$的每個鄰域都與 $S$有異於 $x$的交點，因此 $x \in S^d$，所以 $x \in \overline{S}$ (QED).

  • ---

  • Proof(2):
  • $\forall x \in \mathbb{R}^k - \overline{S}$，因為 $x \notin \overline{S}$，依(1)可得 $r > 0 \ni B_r(x) \cap S = \phi$。
  • $\forall y \in B_r(x)$，因為 $B_r(x)$為 $y$ 的鄰域，所以依(1)可得 $B_r(x) \cap S = \phi$可得 $y \notin \overline{S}$。
  • 因此 $B_r(x) \subset \mathbb{R}^k - \overline{S}$。
  • 所以 $\mathbb{R}^k - \overline{S}$為開集 ，即 $\overline{S}$為閉集合 (QED)。

  • ---

  • Proof(3):
  • 若 $\overline{S} = S$，則依(2)可得 $S$為閉集合。
  • 若 $S$ 為開集合，則依定理 $S^d \subset S$，因此 $\overline{S} = S \cup S^d = S$ (QED).

• E.g. $\forall a,b \in \mathbb{R}, \ a < b$，則 $[a,b], [a,b), (a,b], (a,b)$ 的閉包都是 $[a,b]$.

• E.g. $B \subset S = \lbrace (x,y) \in \mathbb{R}^k | x^2 + y^2 < 1 \rbrace$，則 $S \cup B$的閉包為 $\lbrace (x,y) \in \mathbb{R}^k | x^2 + y^2 \leq 1 \rbrace$.

• 有理數 $\mathbb{Q}$的閉包為 實數 $\mathbb{R}$，即 $\overline{ \mathbb{Q} } = \mathbb{R}$，同理 $\overline{ \mathbb{R} - \mathbb{Q}} = \mathbb{R}$.

  所以 $\overline{S^0} = \phi$，因此 $S$ 為疏落集。(QED)