稠密集(dense set)

    • 定義:稠密集(dense set)
    • 若集合 SRk S \subset \mathbb{R}^k 滿足 S=Rk \overline{S} = \mathbb{R}^k ,則稱集合 S S Rk \mathbb{R}^k 中稠密。
    • 因為閉包為集合與其導集的聯集,而聚集點可解釋為集合中可與除了自已外的其它點無窮接近的點,因此稠密集表示集合內每一點都可以與其它點無窮接近。
    • Theorem:稠密集的充要條件
    • SRk S \subset \mathbb{R}^k 為稠密集合  S \Leftrightarrow \ S Rk \mathbb{R}^k 中的每個非空開集合都相交。
  • E.g. 有理數 Q \mathbb{Q} 與無理數 RQ \mathbb{R} - \mathbb{Q} 都是實數集 R \mathbb{R} 中的稠密集。

  • E.g. kN,Qk={(r1,r2,,rk)}r1,r2,,rkQ \forall k \in \mathbb{N}, \mathbb{Q}^k = \lbrace (r_1, r_2, \cdots, r_k) \rbrace | r_1, r_2, \cdots, r_k \in \mathbb{Q} Rk \mathbb{R}^k 中稠密。
  • E.g. bN and b>1 b \in \mathbb{N} \text{ and } b > 1 ,則集合 {m/bnnsetN,mZ} \lbrace m/b^n | n \in setN , m \in \mathbb{Z} \rbrace R \mathbb{R} 中稠密。

疏落集(nowhere dense set)

  • 稠密集合的特性是「密」,而「密」的反義字是「疏」。

    • 稠密集指閉包等於 Rk \mathbb{R}^k 本身的子集,與此性質對立的是閉包為空集合的子集。
    • 不過當 S=ϕ \overline{S} = \phi 時,必得 S=ϕ S = \phi ,換言之,我們無法用 S=ϕ \overline{S} = \phi 來定義任何新的子集。
    • 因此為了定義「疏」子集,必須把條件放寬。
    • 定義:疏落集
    • 若集合 SRk S \subset \mathbb{R}^k 滿足 S0=ϕ \overline{S^0} = \phi ,則稱 S S 為集合 Rk \mathbb{R}^k 中的疏落集。
  • E.g. Rk \mathbb{R}^k 中的每個有限集合都是疏落集。

  • E.g. Rk \mathbb{R}^k 中的可數無限集可能是疏落集,如自然數 N \mathbb{N} ;也可能不是疏落集,如有理數 Q \mathbb{Q} .
  • E.g. Cantor 集合(不可數)是 R \mathbb{R} 中的疏落集。

    • Theorem:疏落集的充要條件。
    • SRk S \subset \mathbb{R}^k 為疏落集  RkS \Leftrightarrow \ \mathbb{R}^k - \overline{S} 為稠密集。
    • Proof ( \Rightarrow )
    • SRk S \subset \mathbb{R}^k 為疏落集,則 S0=ϕ \overline{S^0} = \phi
    • 因此對於 Rk \mathbb{R}^k 中的每個非空開集 U U ,因此 S \overline{S} 沒有內點,所以 U U 不為 S \overline{S} 的子集合。
    • 因此 U(RkS)phi U \cap ( \mathbb{R}^k - \overline{S}) \neq phi
    • 依定理, RkS \mathbb{R}^k - S 為稠密集。
    • Proof ( \Leftrightarrow )
    • RkS \mathbb{R}^k - \overline{S} 不為稠密集,則 RkS \mathbb{R}^k - \overline{S} Rk \mathbb{R}^k 的每個非空開集合都相交。
    • 因為 S0 \overline{S^0} 為開集合,且 S0(RkS)=ϕ \overline{S^0} \cap ( \mathbb{R}^k - \overline{S}) = \phi

凸集合(Convex set)

  • 定義:SRk S \subset \mathbb{R}^k x,yS,{(1t)x+ty0t1}S \forall x, y \in S, \lbrace (1-t) x + ty | 0 \leq t \leq 1 \rbrace \subseteq S ,則 S S 為一凸集合。
  • 性質:

    • 每個 k k 維開球都是凸集合。
    • 每個 k k 為開區間都是凸集合。
    • S S 為凸集合,則其內點集合 S0 S^0 也是凸集合。
    • S S 為凸集合,則其閉包 S \overline{S} 也是凸集合。

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