稠密集(dense set)

• 定義：稠密集(dense set)
  • 若集合 $S \subset \mathbb{R}^k$ 滿足 $\overline{S} = \mathbb{R}^k$，則稱集合 $S$ 在 $\mathbb{R}^k$中稠密。
  • 因為閉包為集合與其導集的聯集，而聚集點可解釋為集合中可與除了自已外的其它點無窮接近的點，因此稠密集表示集合內每一點都可以與其它點無窮接近。

• Theorem:稠密集的充要條件
  • $S \subset \mathbb{R}^k$為稠密集合 $\Leftrightarrow \ S$ 與 $\mathbb{R}^k$ 中的每個非空開集合都相交。

• E.g. 有理數 $\mathbb{Q}$ 與無理數 $\mathbb{R} - \mathbb{Q}$ 都是實數集 $\mathbb{R}$ 中的稠密集。

• E.g. $\forall k \in \mathbb{N}, \mathbb{Q}^k = \lbrace (r_1, r_2, \cdots, r_k) \rbrace | r_1, r_2, \cdots, r_k \in \mathbb{Q}$在 $\mathbb{R}^k$中稠密。
• E.g. $b \in \mathbb{N} \text{ and } b > 1$，則集合 $\lbrace m/b^n | n \in setN , m \in \mathbb{Z} \rbrace$在 $\mathbb{R}$ 中稠密。

疏落集(nowhere dense set)

• 稠密集合的特性是「密」，而「密」的反義字是「疏」。

  • 稠密集指閉包等於 $\mathbb{R}^k$ 本身的子集，與此性質對立的是閉包為空集合的子集。
  • 不過當 $\overline{S} = \phi$時，必得 $S = \phi$，換言之，我們無法用 $\overline{S} = \phi$來定義任何新的子集。
  • 因此為了定義「疏」子集，必須把條件放寬。
• 定義：疏落集
  • 若集合 $S \subset \mathbb{R}^k$滿足 $\overline{S^0} = \phi$，則稱 $S$為集合 $\mathbb{R}^k$中的疏落集。

• E.g. $\mathbb{R}^k$中的每個有限集合都是疏落集。

• E.g. $\mathbb{R}^k$中的可數無限集可能是疏落集，如自然數 $\mathbb{N}$；也可能不是疏落集，如有理數 $\mathbb{Q}$.

• E.g. Cantor 集合(不可數)是 $\mathbb{R}$中的疏落集。

• Theorem:疏落集的充要條件。
  • $S \subset \mathbb{R}^k$為疏落集 $\Leftrightarrow \ \mathbb{R}^k - \overline{S}$為稠密集。
  • Proof ( $\Rightarrow$)
  • 若 $S \subset \mathbb{R}^k$為疏落集，則 $\overline{S^0} = \phi$。
  • 因此對於 $\mathbb{R}^k$ 中的每個非空開集 $U$，因此 $\overline{S}$ 沒有內點，所以 $U$ 不為 $\overline{S}$ 的子集合。
  • 因此 $U \cap ( \mathbb{R}^k - \overline{S}) \neq phi$。
  • 依定理， $\mathbb{R}^k - S$ 為稠密集。
  • Proof ( $\Leftrightarrow$)
  • 若 $\mathbb{R}^k - \overline{S}$ 不為稠密集，則 $\mathbb{R}^k - \overline{S}$ 與 $\mathbb{R}^k$ 的每個非空開集合都相交。
  • 因為 $\overline{S^0}$ 為開集合，且 $\overline{S^0} \cap ( \mathbb{R}^k - \overline{S}) = \phi$ 。

凸集合(Convex set)

• 定義：$S \subset \mathbb{R}^k$ 且 $\forall x, y \in S, \lbrace (1-t) x + ty | 0 \leq t \leq 1 \rbrace \subseteq S$，則 $S$為一凸集合。

• 性質：

  • 每個 $k$維開球都是凸集合。
  • 每個 $k$為開區間都是凸集合。
  • 若 $S$為凸集合，則其內點集合 $S^0$也是凸集合。
  • 若 $S$為凸集合，則其閉包 $\overline{S}$也是凸集合。