稠密集(dense set)
- 定義:稠密集(dense set)
- 若集合 滿足 ,則稱集合 在 中稠密。
- 因為閉包為集合與其導集的聯集,而聚集點可解釋為集合中可與除了自已外的其它點無窮接近的點,因此稠密集表示集合內每一點都可以與其它點無窮接近。
- Theorem:稠密集的充要條件
- 為稠密集合 與 中的每個非空開集合都相交。
E.g. 有理數 與無理數 都是實數集 中的稠密集。
- E.g. 在 中稠密。
- E.g. ,則集合 在 中稠密。
疏落集(nowhere dense set)
稠密集合的特性是「密」,而「密」的反義字是「疏」。
- 稠密集指閉包等於 本身的子集,與此性質對立的是閉包為空集合的子集。
- 不過當 時,必得 ,換言之,我們無法用 來定義任何新的子集。
- 因此為了定義「疏」子集,必須把條件放寬。
- 定義:疏落集
- 若集合 滿足 ,則稱 為集合 中的疏落集。
E.g. 中的每個有限集合都是疏落集。
- E.g. 中的可數無限集可能是疏落集,如自然數 ;也可能不是疏落集,如有理數 .
E.g. Cantor 集合(不可數)是 中的疏落集。
- Theorem:疏落集的充要條件。
- 為疏落集 為稠密集。
- Proof ( )
- 若 為疏落集,則 。
- 因此對於 中的每個非空開集 ,因此 沒有內點,所以 不為 的子集合。
- 因此 。
- 依定理, 為稠密集。
- Proof ( )
- 若 不為稠密集,則 與 的每個非空開集合都相交。
- 因為 為開集合,且 。
凸集合(Convex set)
- 定義: 且 ,則 為一凸集合。
性質:
- 每個 維開球都是凸集合。
- 每個 為開區間都是凸集合。
- 若 為凸集合,則其內點集合 也是凸集合。
- 若 為凸集合,則其閉包 也是凸集合。