微分 (Derivative)

• 定義：微分

  Function $f$ defined on open interval $(a,b)$, and $c \in (a,b)$, $f$ is differentiable at point $c$ if
  • $f^{'}(c) = \lim_{ x \rightarrow c} \frac{f(x) - f(c)}{x-c} < \infty$.
  • $\forall \epsilon > 0 \ \exists x \in N_{\delta}(c),\ x \neq c$ and radius $\delta$ only depend on $\epsilon$ $\ni \left \vert \frac{f(x) - f(c) }{x-c} - f^{'}(c) \right \vert < \epsilon$.

• 常用微分符號: $f^{'}(c) = Df(c) = \frac{df}{dx}(c) = \frac{dy}{dx} \vert_{x=c}$

• $f$定義在open interval的原因是邊界點不可微分，因微分存在的充要條件是左極限微分值等於右極限微分值。

  • 微分的幾何意義是在點$c$切線的斜率，因此不論是從函數左側逼近或是右側逼近，必須要能夠收斂到定值斜率才會唯一存在。

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• 微分是對函數的局部變化率的一種線性描述。微分可以近似地描述當函數自變量的取值作足夠小的改變時，函數的值是怎樣改變的。

• 若函數在某一點無法做到可微，便稱函數在該點不可微。

• 給定的函數在一點的微分如果存在，就一定是唯一的。

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微分的意義

• Theorem:函數 $f:(a,b) \rightarrow \mathbb{R}$ 且在點 $c \in (a,b)$ 可微分, 則存在函數 $g$ (depending on $f$ and on $c$) 在點 $c$ 連續且滿足下式:
  • $g(x)(x-c) = f(x) - f(c), \ \forall x \in (a,b)$ with $g(c) = f^{'}(c)$.
  • 反之若$g$在點$c$連續時，且滿足上式，則$f$在點$c$可微分，且$f^{'}(c) = g(c)$.
  • Proof $\Rightarrow$:

  • 若$f^{'}(c)$存在時，令$g(x) = \frac{f(x) - f(c)}{x-c}$，當$x \neq c$時，$g(c) = f^{'}(c)$。因此$g$在點$c$連續 (QED)。

  • Proof $\Leftarrow$:

  • $g(x)(x-c) = f(x) - f(c)$且在點$c$連續，則兩側同除$x-c$且令$x \rightarrow c$時，可得$f^{'}(c)$存在且等於$g(c)$( QED)。
• Corollary: 函數$f$在點$c$可微分，則$f$在點$c$連續。

• E.g. 連續不一定可微，$f(x) = | x|, \text{ at } x = 0$.

  • $\lim_{h \rightarrow 0-} \frac{-(x+h)-h}{h} = -1$.
  • $\lim_{h \rightarrow 0+} \frac{(x+h)-h}{h} = 1$.
  • 左極限不等於右極限，因此在此點不可微分。

微分的運算

• Functions $f$與$g$定義在開區間$(a,b)$上，則在點$c \in (a,b)$可微分，則$f+g$, $f-g$, $f \cdot g$在點$c$也可微分，若$f/g \text{ and } g (c) \neq 0$時，也可微分。

  • (Additivity) $(f \pm g)^{'}(c) = f^{'}(c) \pm g^{'}(c)$.
  • (Chain rule) $(f \cdot g)^{'}(c) = f^{'}(c)g(c) + f(c)g^{'}(c)$.
  • (Chain rule) $(f/g)^{'}(c) = \frac{f^{'}(c)g(c) - f(c)g^{'}(c)}{g^2(c)},\ g(c) \neq 0$.

單邊微分

• 令函數$f$定義在閉集合 $S$，則$f$在點$c \in S$左側可微分(lefthand derivative)

  • $f_{-}^{'}(c) = \lim_{x \rightarrow c^{-}} \frac{f(x) - f(c)}{x-c}$ exists.

• 令函數$f$定義在閉集合 $S$，則$f$在點$c \in S$右側可微分(righthand derivative)

  • $f_{+}^{'}(c) = \lim_{x \rightarrow c^{+}} \frac{f(x) - f(c)}{x-c}$ exists.

• 若函數$f$在點$c$可微，則$f_{-}^{'}(c) = f_{+}^{'}(c)=f^{'}(c)$.

區域極值(local extrema)

• 令函數 $f$ 為定義在集合 $S$ 的實數值函數，$a \in S$，

  • $f$ 在點 $a$ 有區域極大值若 $\exists N_r(a) \ni \ f(x) \leq f(a)$ $\forall x \in N_r(a) \cap S$.
  • $f$ 在點 $a$ 有區域極小值若 $\exists N_r(a) \ni \ f(x) \geq f(a)$ $\forall x \in N_r(a) \cap S$.

• 若函數 $f$定義在開區間 $(a,b)$，且$f$在 $c \in (a,b)$ 中有區域極大值或區域極小值，則 $f^{'}(c) = 0$.

Rolle's theorem

• 若函數$f$在開區間 $(a,b)$中每一點都可微分，且$f$ 在端點$a$與$b$連續，若$f(a)=f(b)$，則必定存在點$c \in (a,b)\ \ni f^{'}(c) = 0$.
  • Proof(反證法)
  • 假設$f^{'}$在$(a,b)$均不為0。
  • 因為函數$f$在compact set $[a,b]$連續，所以必存在最大值$M$與最小值$m$。
  • 因為$f^{'}$在$(a,b)$均不為0 ，所以最大值與最小值必發生在端點$a,\ b$中。
  • $\because f(a)=f(b), \ \therefore M=m$，即$f$在區間$[a,b]$均為常數，但這與假設矛盾 (QED)。

微分均值定理(mean-value theorem for derivatives)

• 令函數 $f$ 在開區間 $(a,b)$ 中每一點均可微(有限值或無限大)，且 $f$在端點$a$ 與 $b$ 連續，則存在點$c \in (a,b) \ni f(b) - f(a) = f^{'}(c) (b - a)$.

• 幾何的解釋為$f$為一個連接$a$與$b$的平滑函數，而$f$上某一點$c$的微分值必會與線段$ab$的斜率相同。

一般化均值定理

• 令函數 $f,\ g$在開區間 $(a,b)$中每一點均可微(有限值或無窮大)且不存在$x \in (a,b)$使得$f^{'}(x),\ g^{'}(x)$同時為無窮大；且兩函數在端點$a$ 與 $b$ 連續，則存在點$c \in (a,b)\ \ni f^{'}(c) (g(b) - g(a)) = g^{'}(c) (f(b) - f(a))$.

  • 當$g(x) =x$時，即為單純的積分均值定理。

  • Proof:

  • Let $h(x) = f(x)[g(b) - g(a)] - g(x)[f(b) - f(a)]$.
  • $\therefore h^{'}(x) = f^{'}(x)[g(b)-g(a)] - g^{'}(x)[f(b)-f(a)]$.
  • 當$f^{'}(x),\ g^{'}(x)$均為有限值時，$h^{'}(x)$也為有限值。
  • 當$f^{'}(x),\ g^{'}(x)$其中一個為無窮大時，$h^{'}(x)$也為無窮大。
  • 由於$f^{'}(x),\ g^{'}(x)$兩者均為無窮大時為不定型，無法確定$h^{'}(x)$的範圍，因此排除此種情形。
  • 由定義可知$h$在端點$a,\ b$連續，且$h(a) = h(b) = f(a)g(b) - g(a)f(b)$.
  • 根據Rolle's theorem，$\exists c \in (a,b) \ni h^{'}(c) = 0$. (QED)

• 此定理可再一般化至函數不必在點$a$ 或 $b$上連續，只需在這兩點的左、右極限為有限值即可。

  • $f^{'}(c) (g(b-) - g(a+) ) = g^{'}(c)( f(b-) - f(a+) )$.

• Corollary: 令函數$f$在開區間$(a,b)$均可微分(有限值或無限大)，且在端點$a$與$b$連續，由MVT可得以下關係。

• 若 $f^{'}(c) > 0,\ \forall c \in (a,b)$，則 $f$在$[a,b]$為嚴格遞增函數。
• 若 $f^{'}(c) < 0,\ \forall c \in (a,b)$，則 $f$在$[a,b]$為嚴格遞減函數。
• 若 $f^{'}(c) = 0,\ \forall c \in (a,b)$，則 $f$在$[a,b]$為常數。
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• Proof:
• By MVT, $\exists c \in (x,y) \ni f(y) - f(x) = f^{'}(c) (y-x)$ (QED)

• 函數$f,\ g \in \mathbf{C}[a,b]$，且$f^{'}(x) = g^{'}(x),\ \forall x \in (a,b)$，則$f-g$在區間$[a,b]$$為常數。