微分 (Derivative)

  • 定義:微分
      Function ff defined on open interval (a,b)(a,b), and c(a,b)c \in (a,b), ff is differentiable at point cc if
    • f(c)=limxcf(x)f(c)xc< f^{'}(c) = \lim_{ x \rightarrow c} \frac{f(x) - f(c)}{x-c} < \infty .
    • ϵ>0 xNδ(c), xc \forall \epsilon > 0 \ \exists x \in N_{\delta}(c),\ x \neq c and radius δ\delta only depend on ϵ\epsilon f(x)f(c)xcf(c)<ϵ\ni \left \vert \frac{f(x) - f(c) }{x-c} - f^{'}(c) \right \vert < \epsilon .
  • 常用微分符號: f(c)=Df(c)=dfdx(c)=dydxx=cf^{'}(c) = Df(c) = \frac{df}{dx}(c) = \frac{dy}{dx} \vert_{x=c}

  • ff定義在open interval的原因是邊界點不可微分,因微分存在的充要條件是左極限微分值等於右極限微分值。

    • 微分的幾何意義是在點cc切線的斜率,因此不論是從函數左側逼近或是右側逼近,必須要能夠收斂到定值斜率才會唯一存在。
    • 函數中不可微分的點。
  • 微分是對函數的局部變化率的一種線性描述。微分可以近似地描述當函數自變量的取值作足夠小的改變時,函數的值是怎樣改變的。

  • 若函數在某一點無法做到可微,便稱函數在該點不可微。

  • 給定的函數在一點的微分如果存在,就一定是唯一的。
  • Δx0\Delta x \rightarrow 0時,割線逼近於切線。

微分的意義

    • Theorem:函數 f:(a,b)Rf:(a,b) \rightarrow \mathbb{R} 且在點 c(a,b)c \in (a,b) 可微分, 則存在函數 gg (depending on ff and on cc) 在點 cc 連續且滿足下式:
    • g(x)(xc)=f(x)f(c), x(a,b) g(x)(x-c) = f(x) - f(c), \ \forall x \in (a,b) with g(c)=f(c)g(c) = f^{'}(c).
    • 反之若gg在點cc連續時,且滿足上式,則ff在點cc可微分,且f(c)=g(c)f^{'}(c) = g(c).

    • Proof \Rightarrow:
    • f(c)f^{'}(c)存在時,令g(x)=f(x)f(c)xcg(x) = \frac{f(x) - f(c)}{x-c},當xcx \neq c時,g(c)=f(c)g(c) = f^{'}(c)。因此gg在點cc連續 (QED)。

    • Proof \Leftarrow:

    • g(x)(xc)=f(x)f(c)g(x)(x-c) = f(x) - f(c)且在點cc連續,則兩側同除xcx-c且令xcx \rightarrow c時,可得f(c)f^{'}(c)存在且等於g(c)g(c)( QED)。
  • Corollary: 函數ff在點cc可微分,則ff在點cc連續。
  • E.g. 連續不一定可微,f(x)=x, at x=0f(x) = | x|, \text{ at } x = 0.

    • limh0(x+h)hh=1 \lim_{h \rightarrow 0-} \frac{-(x+h)-h}{h} = -1.
    • limh0+(x+h)hh=1 \lim_{h \rightarrow 0+} \frac{(x+h)-h}{h} = 1.
    • 左極限不等於右極限,因此在此點不可微分。

微分的運算

  • Functions ffgg定義在開區間(a,b)(a,b)上,則在點c(a,b)c \in (a,b)可微分,則f+gf+g, fgf-g, fgf \cdot g在點cc也可微分,若f/g and g(c)0f/g \text{ and } g (c) \neq 0時,也可微分。

    • (Additivity) (f±g)(c)=f(c)±g(c)(f \pm g)^{'}(c) = f^{'}(c) \pm g^{'}(c).
    • (Chain rule) (fg)(c)=f(c)g(c)+f(c)g(c)(f \cdot g)^{'}(c) = f^{'}(c)g(c) + f(c)g^{'}(c).
    • (Chain rule) (f/g)(c)=f(c)g(c)f(c)g(c)g2(c), g(c)0(f/g)^{'}(c) = \frac{f^{'}(c)g(c) - f(c)g^{'}(c)}{g^2(c)},\ g(c) \neq 0.

單邊微分

  • 令函數ff定義在閉集合 SS,則ff在點cSc \in S左側可微分(lefthand derivative)

    • f(c)=limxcf(x)f(c)xcf_{-}^{'}(c) = \lim_{x \rightarrow c^{-}} \frac{f(x) - f(c)}{x-c} exists.
  • 令函數ff定義在閉集合 SS,則ff在點cSc \in S右側可微分(righthand derivative)

    • f+(c)=limxc+f(x)f(c)xcf_{+}^{'}(c) = \lim_{x \rightarrow c^{+}} \frac{f(x) - f(c)}{x-c} exists.
  • 若函數ff在點cc可微,則f(c)=f+(c)=f(c) f_{-}^{'}(c) = f_{+}^{'}(c)=f^{'}(c).

在點x1x_1時,f+(x0)=f_{+}^{'}(x_0) = -\infty,且為端點,微分不存在。 在點x2x_2時,左側微分為0 ,右側微分值為-1,微分不存在。 在點x3x_3時,f(x3)=f^{'}(x_3) = -\infty,微分不存在。 在點x4x_4時,f(x4)=1, f+(x4)=1f_{-}^{'}(x_4) = -1,\ f_{+}^{'}(x_4) = 1,微分不存在。 在點x5x_5時,因ff在此點不連續,無法微分。 在點x6x_6時,f(x6)=f^{'}(x_6) = \infty,微分不存在。 在點x7x_7時,只有左側可微分,f(x7)=2f_{-}^{'}(x_7) = 2

區域極值(local extrema)

  • 令函數 ff 為定義在集合 SS 的實數值函數,aSa \in S

    • ff 在點 aa 有區域極大值若 Nr(a) f(x)f(a) \exists N_r(a) \ni \ f(x) \leq f(a) xNr(a)S \forall x \in N_r(a) \cap S.
    • ff 在點 aa 有區域極小值若 Nr(a) f(x)f(a) \exists N_r(a) \ni \ f(x) \geq f(a) xNr(a)S \forall x \in N_r(a) \cap S.
  • 若函數 ff定義在開區間 (a,b)(a,b),且ffc(a,b) c \in (a,b) 中有區域極大值或區域極小值,則 f(c)=0f^{'}(c) = 0.

Rolle's theorem

  • 若函數ff在開區間 (a,b)(a,b)中每一點都可微分,且ff 在端點aabb連續,若f(a)=f(b)f(a)=f(b),則必定存在點c(a,b) f(c)=0c \in (a,b)\ \ni f^{'}(c) = 0.
    • Proof(反證法)
    • 假設ff^{'}(a,b)(a,b)均不為0。
    • 因為函數ff在compact set [a,b][a,b]連續,所以必存在最大值MM與最小值mm
    • 因為ff^{'}(a,b)(a,b)均不為0 ,所以最大值與最小值必發生在端點a, ba,\ b中。
    • f(a)=f(b), M=m\because f(a)=f(b), \ \therefore M=m,即ff在區間[a,b][a,b]均為常數,但這與假設矛盾 (QED)。
Rolle's theorem

微分均值定理(mean-value theorem for derivatives)

  • 令函數 ff 在開區間 (a,b)(a,b) 中每一點均可微(有限值或無限大),且 ff在端點aabb 連續,則存在點c(a,b)f(b)f(a)=f(c)(ba)c \in (a,b) \ni f(b) - f(a) = f^{'}(c) (b - a).
  • 幾何的解釋為ff為一個連接aabb的平滑函數,而ff上某一點cc的微分值必會與線段abab的斜率相同。

微分均值定理。

一般化均值定理

  • 令函數 f, gf,\ g在開區間 (a,b)(a,b)中每一點均可微(有限值或無窮大)且不存在x(a,b)x \in (a,b)使得f(x), g(x)f^{'}(x),\ g^{'}(x)同時為無窮大;且兩函數在端點aabb 連續,則存在點c(a,b) f(c)(g(b)g(a))=g(c)(f(b)f(a)) c \in (a,b)\ \ni f^{'}(c) (g(b) - g(a)) = g^{'}(c) (f(b) - f(a)).

    • g(x)=xg(x) =x 時,即為單純的積分均值定理。

    • Proof:

    • Let h(x)=f(x)[g(b)g(a)]g(x)[f(b)f(a)] h(x) = f(x)[g(b) - g(a)] - g(x)[f(b) - f(a)].
    • h(x)=f(x)[g(b)g(a)]g(x)[f(b)f(a)] \therefore h^{'}(x) = f^{'}(x)[g(b)-g(a)] - g^{'}(x)[f(b)-f(a)] .
    • f(x), g(x)f^{'}(x),\ g^{'}(x)均為有限值時,h(x)h^{'}(x)也為有限值。
    • f(x), g(x)f^{'}(x),\ g^{'}(x)其中一個為無窮大時,h(x)h^{'}(x)也為無窮大。
    • 由於f(x), g(x)f^{'}(x),\ g^{'}(x)兩者均為無窮大時為不定型,無法確定h(x)h^{'}(x)的範圍,因此排除此種情形。
    • 由定義可知hh在端點a, ba,\ b連續,且h(a)=h(b)=f(a)g(b)g(a)f(b)h(a) = h(b) = f(a)g(b) - g(a)f(b).
    • 根據Rolle's theorem,c(a,b)h(c)=0\exists c \in (a,b) \ni h^{'}(c) = 0. (QED)
  • 此定理可再一般化至函數不必在點aabb上連續,只需在這兩點的左、右極限為有限值即可。

    • f(c)(g(b)g(a+))=g(c)(f(b)f(a+))f^{'}(c) (g(b-) - g(a+) ) = g^{'}(c)( f(b-) - f(a+) ) .
  • Corollary: 令函數ff在開區間(a,b)(a,b)均可微分(有限值或無限大),且在端點aabb連續,由MVT可得以下關係。

    • f(c)>0, c(a,b)f^{'}(c) > 0,\ \forall c \in (a,b),則 ff[a,b][a,b]為嚴格遞增函數。
    • f(c)<0, c(a,b)f^{'}(c) < 0,\ \forall c \in (a,b),則 ff[a,b][a,b]為嚴格遞減函數。
    • f(c)=0, c(a,b)f^{'}(c) = 0,\ \forall c \in (a,b),則 ff[a,b][a,b]為常數。
    • </ul> </div>

      • Proof:
      • By MVT, c(x,y)f(y)f(x)=f(c)(yx)\exists c \in (x,y) \ni f(y) - f(x) = f^{'}(c) (y-x) (QED)
    • 函數f, gC[a,b]f,\ g \in \mathbf{C}[a,b],且f(x)=g(x), x(a,b)f^{'}(x) = g^{'}(x),\ \forall x \in (a,b),則fgf-g在區間$[a,b]$$為常數。

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