Cauchy 數列(sequence)

• 定義：數列的極限
  • $\{a_n\}$為一數列，$a \in \mathbb{R}$.
  • 若$\forall \epsilon > 0 \ \exists n_0 \in \mathbb{N} \ni n \geq n_0,\ |a_n -a| < \epsilon$
  • 稱數列$\{a_n\}$收斂於$a$，或稱數列的極限為$a$，記為$\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = a$.
  • 極限直觀的想法是只要$n$夠大，則$a_n$可以與$a$接近到任意程度，但是此定義仍然必須先知道收斂值$a$之值。
• 定義：Cauchy 數列
  • $\{ a_n \}$為一數列
  • 若$\forall \epsilon > 0 \ \exists n_0 \in \mathbb{N} \ni m,n \geq n_0,\ |a_m - a_n | < \epsilon$時
  • 稱$\{ a_n \}$為一Cauchy數列。
  • Cauchy數列的功能在於不須知道收斂值，只須檢定數列中元素的接近程度即可判別數列是否收斂。
• Theorem:收斂數列必為Cauchy數列 (反之不一定成立)

Cauchy數列的性質

• Theorem:在實數系中的每個Cauchy數列都是有界數列。
  • Proof:
  • 令$\lbrace a_n \rbrace$為Cauchy數列。
  • 依定義，給定正數1，$\exists n_0 \in \mathbb{N} \ni m,n \geq n_0,\ |a_m - a_n | \leq 1$.
  • 所以當$n \geq n_0, | a_n - a_{n_0} | < 1 \Rightarrow |a_n| < |a_{n_0} | + 1$.
  • 令$r = \max \lbrace |a_1|, |a_2|, \cdots, |a_{n_0 - 1}| , | a_{n_0}| + 1 \rbrace$．
  • $\therefore \forall n \in \mathbb{N},\ |a_n| \leq r$.
  • 所以$\{ a_n | n \in \mathbb{N} \}$為有界集合 (QED).
• Theorem:實數系中的每個Cauchy數列都會收斂於某一實數。
  • 因實數為完備空間，因此定理成立。
  • Proof:[存在性]
  • 令$\lbrace a_n \rbrace$為實數所形成的Cauchy數列，則依上述定理，集合$\lbrace a_m | m \in \mathbb{N} \rbrace$為有界集合。
  • $\forall n \in \mathbb{N}$，令$S_n = \lbrace a_m | m \in \mathbb{N}, \ m \geq n \rbrace$.
  • 則$S_n$為$S_1 = \lbrace a_m | m \in \mathbb{N} \rbrace$的子集，所以$S_n$ 也是有界集合。
  • 依實數的完備性，令 $b_n = \sup S_n,\ c_n = \inf S_n$，則$c_n \leq a_n \leq b_n$。
  • $\because S_{n+1} \subset S_n \therefore b_{n+1} \leq b_n, \ c_{n+1} \geq c_n$.
  • 根據數學歸納法，$\forall m,n \in \mathbb{N},\ b_n \leq b_{n+m} \geq c_{n+m} \geq c_m$.
  • 因此集合$\lbrace b_n | n \in \mathbb{N} \rbrace$的每個元素都大於或等於集合$\lbrace c_m | m \in \mathbb{N}$的每個元素。
  • 所以集合$\lbrace b_n \rbrace$有下界，且集合$\lbrace c_m \rbrace$有上界。
  • 令$b = \inf \lbrace b_n \rbrace, \ c = \sup \lbrace c_m \rbrace \Rightarrow b \geq c$[1].
  • Proof:[證明$b=c$, 且數列$| a_n |$收斂]
  • 因為$\{ a_n \}$為Cauchy數列，所以$\forall epsilon > 0 \ \exists n_0 \in \mathbb{N} \ni m,n \geq n_0, |a_m - a_n | < \epsilon$.
  • 可改寫為$a_n - \epsilon < a_m < a_n + \epsilon$。
  • 令集合$\lbrace a_m | m \in \mathbb{N},\ m \geq n_0 \rbrace$的每個元素均小於集合$\lbrace a_n + \epsilon | n \in \mathbb{N}, n \geq n_0 \rbrace$的每個元素。
  • 因此可知前一集合的最小上界小於或等於後一集合的最大下界，即$b_{n_0} \leq c_{n_0} + \epsilon \Rightarrow 0 \leq b -c \leq b_{n_0} - c_{n_0} \leq \epsilon$.
  • $\therefore \forall epsilon > 0, \ 0 \leq b - c \leq \epsilon \Rightarrow b=c$.[2]
  • Proof: [證明數列$\{ a_n \}$收斂]
  • $\forall \epsilon > 0, \ b+ \epsilon$不是$\{ b_n \}$的下界，於是可以找到$n_1 \in \mathbb{N} \ni b_{n_1} < b + \epsilon$.
  • 同理$\forall \epsilon > 0,\ b- \epsilon = c - \epsilon$不是$\{ c_n \}$的上界，因此可以找到$n_2 \in \mathbb{N} \ni c_{n_2} > b - \epsilon$.
  • 令$n_0 = \max{n_1, n_2}$，則當$n \geq n_0$，可得$b_n \leq b_{n_1} \text{ and } c_n \geq c_{n_2} > b - \epsilon$。
  • 因此$b - \epsilon < c_n \leq a_n \leq b_n < b + \epsilon \Rightarrow | a_n - b| < \epsilon, \forall n \geq n_0$.
  • 所以$\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = b$.[3]