集合的運算

Cartesian product

• $\mathbb{R}$ is the set of all real numbers, $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ is the set of all complex numbers or plane.

聯集與交集運算(Union and intersection operation)

• 令$X$與$Y$為兩個集合，$I$為一個指標(index)集合(有限或無限多個元素)。

• 聯集(union): 屬於任何一個集合的元素。

  • $X \cup Y = \left\{z \ \vert \ z \in X \ or \ z \in Y\right\}$.

• 交集 (intersection): 同時屬於所有集合的元素。

  • $X \cap Y = \left\{z \ \vert \ z\in X \ and \ z \in Y \right\}$.

• 多集合的聯集: 元素只須存在於某一個集合

  • $\cup_{i \in I} S_i = \left\{ x \ \vert \ \exists j \in I, \ x \in S_j \right\}$.

• 多集合的交集: 元素必須存在於所有的集合

  • $\cap_{i \in I} S_i = \left\{ x \ \vert \ \forall j \in I, \ x \in S_j \right\}$.

• 交換律 (commutative law):

  • $X \cup Y = Y \cup X$.
  • $X \cap Y = Y \cap X$.

• 結合律 (associative law):

  • $(X \cup Y) \cup Z = X \cup ( Y \cup Z)$.
  • $(X \cap Y) \cap Z = X \cap ( Y \cap Z)$.

• 分配律 (distributative law)

  • $X \cap (\cup_{i \in I} Y_i) = \cup_{i \in I} (X \cap Y_i)$.
  • $X \cup (\cap_{i \in I} Y_i) = \cap_{i \in I} (X \cup Y_i)$.

• 吸收律 (absorb law)

  • $X \cup (X \cap Y) = X$.
  • $X \cap (X \cup Y) = X$.

差集與補集運算(difference and complement operation)

• 令$U$為宇集合(universal set)，即為全部元素的集合。

• 差集(difference): 元素只屬於第一個集合，但不屬於第二個集合，不符合交換律。

  • $x \backslash Y \equiv X-Y = \lbrace z\ \vert \ z \in X \ and \ z \notin Y \rbrace$.