集合的運算

Cartesian product

aAa \in A, bBb \in B, the Cartesian product is A×B={(a,b) aA, bB}A \times B = \lbrace (a,b) \vert \ a \in A, \ b \in B \rbrace.
  • R\mathbb{R} is the set of all real numbers, R×R\mathbb{R} \times \mathbb{R} is the set of all complex numbers or plane.

聯集與交集運算(Union and intersection operation)

  • XXYY為兩個集合,II為一個指標(index)集合(有限或無限多個元素)。

  • 聯集(union): 屬於任何一個集合的元素。

    • XY={z  zX or zY}X \cup Y = \left\{z \ \vert \ z \in X \ or \ z \in Y\right\}.
  • 交集 (intersection): 同時屬於所有集合的元素。

    • XY={z  zX and zY} X \cap Y = \left\{z \ \vert \ z\in X \ and \ z \in Y \right\}.
  • 多集合的聯集: 元素只須存在於某一個集合

    • iISi={x  jI, xSj}\cup_{i \in I} S_i = \left\{ x \ \vert \ \exists j \in I, \ x \in S_j \right\}.
  • 多集合的交集: 元素必須存在於所有的集合

    • iISi={x  jI, xSj}\cap_{i \in I} S_i = \left\{ x \ \vert \ \forall j \in I, \ x \in S_j \right\}.
  • 交換律 (commutative law):

    • XY=YX X \cup Y = Y \cup X.
    • XY=YXX \cap Y = Y \cap X.
  • 結合律 (associative law):

    • (XY)Z=X(YZ)(X \cup Y) \cup Z = X \cup ( Y \cup Z).
    • (XY)Z=X(YZ)(X \cap Y) \cap Z = X \cap ( Y \cap Z).
  • 分配律 (distributative law)

    • X(iIYi)=iI(XYi)X \cap (\cup_{i \in I} Y_i) = \cup_{i \in I} (X \cap Y_i).
    • X(iIYi)=iI(XYi)X \cup (\cap_{i \in I} Y_i) = \cap_{i \in I} (X \cup Y_i).
  • 吸收律 (absorb law)

    • X(XY)=XX \cup (X \cap Y) = X.
    • X(XY)=XX \cap (X \cup Y) = X.

差集與補集運算(difference and complement operation)

  • UU為宇集合(universal set),即為全部元素的集合。

  • 差集(difference): 元素只屬於第一個集合,但不屬於第二個集合,不符合交換律。

    • x\YXY={z  zX and zY}x \backslash Y \equiv X-Y = \lbrace z\ \vert \ z \in X \ and \ z \notin Y \rbrace.

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