緊緻集的應用

• Theorem:點到閉集合的距離
  • $F \subset \mathbb{R}^k$為非空閉集合， $x \in \mathbb{R}^k$, 則 $\exists y \in F \ni \Vert x-y \Vert = \inf \lbrace \Vert x-z \Vert | z \in F\rbrace$
  .
  • Proof:
  • 令 $d = \inf \lbrace \Vert x-z \Vert | z \in F \rbrace$。
  • $\forall n \in \mathbb{N}$，依定義 $\lbrace z \in F | \Vert -xz \Vert \leq d+1/n \rbrace \neq \phi$，令 $F_n$表示此非空集合。
  • $\forall n \in \mathbb{N}, F_n$是閉集合 $F$與 閉球 $\overline{B}_{d+1/n}(x)$的交集，所以 $F_n$是閉集合。
  • $\because F_1 \subset \overline{B}_{d+1}(x)$，所以 $F_1$ 為有界集合。
  • 另外 $F_1 \supset F_2 \supset \cdots \supset F_n \supset \cdots$，依Cantor交集定理，必有一個 $y$屬於每個 $F_n$.
  • 因此 $y \in F$ 且對 $\forall n \in \mathbb{N}$，必有 $\Vert x-y \Vert \leq d + 1/n$。
  • 由此可知 $\Vert x-y \Vert \leq d$，但由 $y \in F$ 可得 $\Vert x-y \Vert \geq d$，所以 $\Vert x-y \Vert = d = \inf \lbrace \Vert x-z \Vert | z \in F\rbrace$ (QED).

• 對於任意集合 $A \subset \mathbb{R}^k$以及任意點 $x \in \mathbb{R}^k$, $\inf \lbrace \Vert x-z \Vert | z \in A \rbrace$稱為點 $x$到集合 $A$的距離，以 $d(x,A)$表示之。
  • 對於一般的集合 $A$， 不一定存在點 $y \in A \ni d(x,A) = \Vert x-y \Vert$.
  • e.g. $x \in \overline{A} \text{ but } x \notin A \Rightarrow d(x,A) = 0$，但 $\forall y \in A \ni \Vert x-y \Vert > 0$.
  • 另外對於閉集合 $F$， 滿足 $d(x,F) = \Vert x-y \Vert$的 $y$不一定唯一。但若 $F$為凸集合時，則點 $y$是唯一的。

• Theorem: 緊緻集與閉集的距離
  • $K \subset \mathbb{R}^k$為一非空緊緻集而 $F$為一非空閉集。
  • 則 $\exists x \in K, \exists y \in F \ni \Vert x-y \Vert = \inf \lbrace \Vert z-w \Vert | z \in F, \ w \in K \rbrace$
  • Note: 若 $F, K$均為非空閉集合時，此結論可能不成立。
• 定義：完全集(perfect set)
  • $A \subset \mathbb{R}^k$ 滿足 $A = A^d$時，稱為完全集
  • 完全集為閉集合，且其所含的每個點都是它的聚集點。

• Theorem:完全集的重要性質
  • $\mathbb{R}^k$ 中的非空完全集都是不可數集

+ Proof:
+ 設 {% math %} A \subset \mathbb{R}^k {% endmath %}是一個非空完全集，因為 {% math %} A {% endmath %} 有聚集點，所以 {% math %} A {% endmath %} 為無限集。
+ (反證法） 假設 {% math %} A {% endmath %} 為可數集，則我們可將 {% math %} A {% endmath %} 表示成 {% math %} A = \lbrace x_n | n \in \mathbb{N} \rbrace  {% endmath %}。
+ 作一序列的開集合 {% math %} \lbrace U_n | n \in \mathbb{N} \rbrace  {% endmath %}如下：
+ 任選點 {% math %} x_1 {% endmath %}的一個有界開鄰域 {% math %} U_1 {% endmath %} (e.g. {% math %} U_1 = B_r(x_1) {% endmath %}，因為 {% math %} x_1 \in A^d {% endmath %}，所以 {% math %} U_1 \cap A {% endmath %} 為無限集。
+ 選取 {% math %} U_1 \cap A - \lbrace x_1 \rbrace  {% endmath %}的任一點，並作此點的一個開鄰域 {% math %} U_2 \ni \overline{U}_2 \subset U_1 \text{ and } x_1 \notin \overline{U}_2 {% endmath %}.
+ 因為 {% math %} A = A^d {% endmath %}，所以 {% math %} U_2 \cap A {% endmath %}為無限集。
+ 假設我們已作了 {% math %} n {% endmath %}個開集合 {% math %} U_1, U_2, \cdots, U_n {% endmath %}，且對 {% math %} i=1,2,\cdots, n-1 {% endmath %}，恆有 {% math %} \overline{U}_{i+1} \subset U_i {% endmath %} 且 {% math %} x_i \notin \overline{U}_{i+1} {% endmath %}，同時 {% math %} U_n \cap A {% endmath %} 是無限集。
+ 取選 {% math %} U_n \cap A - \lbrace x_n \rbrace  {% endmath %}中的任一點，並作此點一個開鄰域 {% math %} U_{n+1} {% endmath %}，使得 {% math %} \overline{U}_{n+1} \subset U_n {% endmath %} 且 {% math %} x_n \notin \overline{U}_{n+1} {% endmath %}，顯然的，因為 {% math %} A^d = A {% endmath %}，所以 {% math %} U_{n+1} \cap A {% endmath %} 為無限集。
+ 依數學歸納法，可得出一序列的開集 {% math %} \lbrace U_n | n \in \mathbb{N} \rbrace  \ni \forall n \in N, \overline{U}_{n+1} \subset U_n, x_n \notin \overline{U}_{n+1}{% endmath %}，且 {% math %} U_n \cap A {% endmath %}是無限集。
+ {% math %} \forall n \in \mathbb{N} {% endmath %} 令 {% math %} F_n = \overline{U}_n \cap A {% endmath %}，因為 {% math %} A {% endmath %}是閉集，所以每個 {% math %} F_n {% endmath %}都是閉集合。
+ 因為 {% math %} F_1 {% endmath %}是有界集合 {% math %} \overline{U}_1 {% endmath %}的子集，所以 {% math %} F_1 {% endmath %}是有界集合。
+ 因為 {% math %} F_1 \supset F_2 \supset \cdots \supset F_n \supset \cdots {% endmath %}，依Cantor交集定理，可知 {% math %} \cap_{n=1}^{\infty} F_n \neq \phi {% endmath %}.
+ 又對 {% math %} \forall m \in \mathbb{N}, x_m \notin \overline{U}_{m+1}, x_m \notin F_{m+1} {% endmath %}，所以 {% math %} x_m \notin \cap_{n=1}^{\infty} F_n {% endmath %}.
+ 由此可知 {% math %} A \cap (\cap_{n=1}^{\infty} F_n) = \phi {% endmath %}。
+ 因為 {% math %} \cap_{n=1}^{\infty} F_n \subset A {% endmath %}，所以這表示 {% math %} \cap_{n=1}^{\infty} F_n = \phi {% endmath %}，此為矛盾的結果，因此可知 {% math %} A {% endmath %}為不可數集合(QED)。

• Theorem:Baire類別定理
  • $\mathbb{R}^k$差，可數個稠密開集的交集仍是一個稠密集。