具有完備性的有序體

  • 我們對有理數中的所有分劃定義了次序關係、加法運算與乘法運算，並證明了相關的性質。這些性質可以綜合成下面的結論。

    • Theorem:所有分劃構成一個有序體。
    • 若R \mathbb{R}為有理數Q \mathbb{Q} 所有分劃所形成的集合，則R \mathbb{R} 滿足次序關係、加法運算、乘法運算，而且具有以下性質構成一有序體(ordered field)。
    • (加法交換性)∀a,b∈R,⇒a+b=b+a \forall a,b \in \mathbb{R}, \Rightarrow a+b = b+a
    • (加法結合性)∀a,b,c∈R,⇒(a+b)+c=a+(b+c) \forall a,b,c \in \mathbb{R}, \Rightarrow (a+b)+c = a+(b+c)
    • (加法單位元素)∃0∈R∋∀a∈R⇒a+0=a \exists 0 \in \mathbb{R} \ni \forall a \in \mathbb{R} \Rightarrow a+0 = a
    • (加法單位反元素)∀a∈R ∃−a∈R∋a+(−a)=0 \forall a \in \mathbb{R}\ \exists -a \in \mathbb{R} \ni a + (-a) = 0
    • (乘法交換性)∀a,b∈R⇒ab=ba \forall a,b \in \mathbb{R} \Rightarrow ab = ba
    • (乘法結合性)∀a,b,c∈R⇒(ab)c=a(bc) \forall a,b,c \in \mathbb{R} \Rightarrow (ab)c = a(bc)
    • (乘法單位元素)∃1∈R∋∀a∈R⇒a1=a \exists 1 \in \mathbb{R} \ni \forall a \in \mathbb{R} \Rightarrow a1 =a
    • (乘法單位反元素)∀0≠a∈R ∃a−1∈R∋aa−1=1 \forall 0 \neq a \in \mathbb{R}\ \exists a^{-1} \in \mathbb{R} \ni aa^{-1} = 1
    • (分配律)∀a,b,c∈R⇒a(b+c)=ab+ac \forall a,b,c \in \mathbb{R} \Rightarrow a(b+c) = ab + ac
    • (三一律)∀a∈R,a>0 or a<0 or a=0 \forall a \in \mathbb{R}, a > 0 \text{ or } a < 0 \text{ or } a = 0
    • (加法封閉性)∀a,b∈R, a>0 and b>0⇒a+b>0 \forall a, b \in \mathbb{R},\ a > 0 \text{ and } b > 0 \Rightarrow a + b > 0
    • (乘法封閉性)∀a,b∈R, a>0 and b>0⇒ab>0 \forall a, b \in \mathbb{R},\ a > 0 \text{ and } b > 0 \Rightarrow a b > 0
    • Theorem:分劃所形成的有序體具完備性。
    • 若A,B⊂R A, B \subset \mathbb{R} 為分劃集R \mathbb{R} 的非空子集合，且滿足以下三條件：
      1. A∪B=R A \cup B = \mathbb{R}
      2. A∩B=ϕ A \cap B = \phi
      3. A A 中的每個元素都小於BB 的每個元素
    • 則下列兩個恰有一成立。
    • A A 有最大元素或B B 有最小元素。
    • 即存在一分劃C C 使得∀a∈A, a≤c∈C \forall a \in A,\ a \leq c \in C且∀b∈B, b≥c \forall b \in B,\ b \geq c .
    • 此性質稱為完備性的原因是若我們用有理數分劃在一直線上代表有理點，那麼，有理點在直線上所留下的空隙都可以用非有理分劃來表示。
    • 也就是說，直線上的所有點都被分劃所填滿了。
    • Theorem:在分劃集R \mathbb{R} 的定義中，無法得到新的未定義數。
    • 若A⊂R A \subset \mathbb{R} ，且A A 有以下三個性質：
    • A≠ϕ, A≠R A \neq \phi,\ A \neq \mathbb{R} .
    • ∀a∈A \forall a \in A ，則比a a 小的每個分劃都屬於A A .
    • ∀a∈A \forall a \in A ，存在分劃B B 滿足B>a B > a 且B∈A B \in A
    • 滿足此三條件時，則存在一個分劃C C 使得A={a∈R∣a<C} A=\{a \in \mathbb{R}| a < C \}

  • 在建構出全體分劃所構成一個具有完備性的有序體後，此有序體內含一些特殊元素：有理分劃，具有以下性質。

    • Theorem:有理數分劃也構成一有序體。
    • 對任意二個有理數p, q p,\ q , 令p∗,q∗ p^{*}, q^{*} 為包含此有個有理數的分劃，則可得
    • p∗+q∗=(p+q)∗ p^{*} + q^{*} = (p+q)^{*}
    • p∗q∗=(pq)∗ p^{*} q^{*} = (pq)^{*}
    • p∗<q∗⇔p<q p^{*} < q^{*} \Leftrightarrow p < q
    • Theorem:有理數分劃在全體分劃中稠密(dense)
    • 若A,B⊂Q A, B \subset \mathbb{Q} 為有理數中兩個分劃，且A<B A < B
    • 則必存在一個有理分劃C C 滿足A<C<B A < C < B
    • Proof:
    • ∵A<B∴∃p∈Q, p∉A and p∈B \because A < B \therefore \exists p \in \mathbb{Q},\ p \notin A \text{ and } p \in B.
    • ∵p∈B,∴∃r∈Q∋r>p and r∈B \because p \in B, \therefore \exists r \in \mathbb{Q} \ni r > p \text{ and } r \in B .
    • ∵r∈B and r∉C∴C<B \because r \in B \text{ and } r \notin C \therefore C < B [1].
    • ∵p∈C and p∉A∴A<C \because p \in C \text{ and } p \notin A \therefore A < C [2].
    • from [1,2] A<C<B A < C < B (QED).
    • Theorem:有理數分劃與無理數分劃
    • 若A A 為有理數的分劃而r r 為有理數，則r∈A r \in A 的充要條件是r∗<A r^{*} < A
    • Corollary: 非有理數分劃是某些有理數分劃的最小上界
    • 若A⊂Q A \subset \mathbb{Q} 為有理數的分劃，則
    • ∀r∈A, r∗<A \forall r \in A, \ r^{*} < A
    • 對於每個小於A A 的分劃B B ，必有一個r∈A∋B<r∗<A r \in A \ni B < r^{*} < A

  • 我們將有理數的某類子集稱為分劃，並在全體分劃所形成的集合上定義次序關係、加法運算與乘法運算，接著證明全體分劃所成集合構成一個具有完備性的有序體。

  • 分劃分為兩種，令A A 為分劃，則依Q−A \mathbb{Q} -A 是否包含最小元素分為：有理分劃與非有理分劃。
    • 對有理分劃進行加法、乘法運算以及比較大小運算時，與直接對有理數做相同運算均相同，因此可直接將有理分劃視為有理數。

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