複數(Complex number)

由於投資組合中，複數的部份只會出現在Fourier transform，因此這邊只簡單介紹複數的運算和意義。

虛數 (Imaginary number)

• $i = \sqrt{-1}$.

• 假設有一個數線，上面有兩個反向的點 $+1$ 與 $-1$，可知$+1$ 旋轉$180^\circ$後，就會變成$-1$，反之亦然。

• 旋轉$180^\circ$一次，就等於旋轉$90^\circ$兩次。

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• 因此可得到以下關係式$+1$ $\times$ (逆時鐘$90^\circ$) $\times$ (逆時鐘 $90^\circ$) $=-1$；這邊的$\times$代表某種操作，而非乘法。

• 上式可得 (逆時鐘$90^\circ$)$^2=-1$；令$i=$(逆時鐘$90^\circ$)，可得$i^2=-1$。

• 所以可知虛數$i$就是逆時鐘轉$90^\circ$, 不是一個數，而是一個旋轉量。

複數的定義(Complex)

• 將實數視為$X$軸，虛數視為$Y$軸，即構成了二維平面(複數與平面同構(isomorphism)，即兩者間存在1-1的函數)；旋轉到某一個角度的任何正實數，必定對應平面中的某個點。

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• 將平面中點$(1, i)$，使用$1+i$表示，此種表示法稱為複數； $1$為實數部(real number part)，$i$為虛數部(imaginary number part)。

  • 這邊的加法只是記號，表示實數與虛數的關系，並非算數的加法。

De Moivre定理

• $(\cos{x} + i \sin{x})^n = \cos{nx} + \sin{nx}$.

Euler 定理

• $e^{i\pi} + 1 = 0$.