複數(Complex number)

由於投資組合中,複數的部份只會出現在Fourier transform,因此這邊只簡單介紹複數的運算和意義。

虛數 (Imaginary number)

  • i=1i = \sqrt{-1}.

  • 假設有一個數線,上面有兩個反向的點 +1+11-1,可知+1+1 旋轉180180^\circ後,就會變成1-1,反之亦然。

  • 旋轉180180^\circ一次,就等於旋轉9090^\circ兩次。

  • 因此可得到以下關係式+1+1 ×\times (逆時鐘9090^\circ) ×\times (逆時鐘 9090^\circ) =1=-1;這邊的×\times代表某種操作,而非乘法。

  • 上式可得 (逆時鐘9090^\circ)2=1^2=-1;令i=i=(逆時鐘9090^\circ),可得i2=1i^2=-1

  • 所以可知虛數ii就是逆時鐘轉9090^\circ, 不是一個數,而是一個旋轉量。

複數的定義(Complex)

  • 將實數視為XX軸,虛數視為YY軸,即構成了二維平面(複數與平面同構(isomorphism),即兩者間存在1-1的函數);旋轉到某一個角度的任何正實數,必定對應平面中的某個點。

    • 45 degree

  • 將平面中點(1,i)(1, i),使用1+i1+i表示,此種表示法稱為複數; 11為實數部(real number part),ii為虛數部(imaginary number part)。

    • 這邊的加法只是記號,表示實數與虛數的關系,並非算數的加法。

De Moivre定理

  • (cosx+isinx)n=cosnx+sinnx (\cos{x} + i \sin{x})^n = \cos{nx} + \sin{nx}.

Euler 定理

  • eiπ+1=0e^{i\pi} + 1 = 0.

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