測度 (Measure)

測度理論引入數學領域內,大約可溯至十九世紀末至二十世紀初,出現在Lebesque用以解決積分問題的論述中,而後於1930年代由Kolmogorov及Winener大量融入機率論中,以建立具有嚴謹數學基礎的現代機率論。

「測度」指的就是針對某個區間長度的測量,此概念可推廣至面積、體積、甚至抽象空間的測量,但當我們把測度的概念擴展至具有極限概念之集合時,就沒有那麼直覺,因此需要嚴謹的定義。

Lebesque以實數為宇集(universal set), 以Borel sigma field,運用Cantor的集合論於實數上的分析方式,定義出明確的實數線段長度。其結論是在一段實數線上的可數點其測度為0 ,而無限個可數點,其測度仍然為0,因此可知該線段上有理數集合的測度為0。除此之外,該線段的區間長度即為其測度值,即[a,b],[a,b),(a,b],(a,b)[a,b],[a,b),(a,b], (a,b)的Lebesque測度均為bab-a

機率測度 (Probability measure)

  • (Ω,F)(\Omega, \mathcal{F})為可測空間(measurable space).

  • A probability measure is a real-valued function P:FRP: \mathcal{F} \rightarrow \mathbb{R} satisfying:

  • Nonnegative: P(E)0P(E) \geq 0, EF\forall E \in \mathcal{F}. (所有事件的測度均大於0)

  • Countable additivity: Let En,nNE_n,\, n \in \mathbb{N} be a sequence of countable collection of disjoint set in F\mathcal{F}, then P(n=1En=n=1P(En))P\left( \cup_{n=1}^{\infty} E_n = \sum_{n=1}^{\infty} P(E_n) \right).

    • 因為EnFE_n \in \mathcal{F},根據sigma field的定義,n=1EnF\cup_{n=1}^{\infty}E_n \in \mathcal{F},所以P(n=1En)P\left( \cup_{n=1}^{\infty} E_n \right)之值存在。
  • P(Ω)=1P(\Omega) = 1.

  • 一般的測度只需滿足條件1與2即可,而機率測度需滿足條件1,2,3。

Properties

  • P(E)1P(E) \leq 1, EF\forall E \in \mathcal{F}. [由條件3得出]

  • P(ϕ)=0P(\phi) = 0, P(Ω)=1P(\Omega)=1 [由Sigma field定義與條件3得出]

  • P(Ec)=1P(E)P(E^c) = 1 - P(E).

  • P(E1E2)=P(E1)+P(E2)P(E1E2)P(E_1 \cup E_2) = P(E_1) + P(E_2 ) - P(E_1 \cap E_2).

  • E1E2E_1 \subseteq E_2 \Rightarrow P(E1)P(E2)P(E_1) \leq P(E_2).

  • En,nNE_n, \, n \in \mathbb{N} \Rightarrow P(n=1En)n=1P(En)P \left(\cup_{n=1}^{\infty} E_n \right) \leq \sum_{n=1}^{\infty} P(E_n) .

    • 等號成立於EnE_n is pairwise independent.
  • If En,nNE_n, \, n \in \mathbb{N} satisfies E1EnE_1 \subseteq \cdots \subseteq E_n \subseteq \cdots , then limnP(En)=P(n=1En)\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} P(E_n) = P(\cup_{n=1}^{\infty} E_n).

  • If En,nNE_n, \, n \in \mathbb{N} satisfies E1EnE_1 \supseteq \cdots \supseteq E_n \supseteq \cdots , then limnP(En)=P(n=1En)\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} P(E_n) = P(\cap_{n=1}^{\infty} E_n).

機率空間 (Probability space)

  • The triple (Ω,F,P)(\Omega, \mathcal{F}, P) is called the probability space.

  • 如果未特別說明時sigma field時,通常視為F=P(Ω)\mathcal{F} = P(\Omega).

  • 如果是stochastic process時,F\mathcal{F}為filitration。

Borel field

  • Borel field為實數中所有open interval (a,b)(a,b), a,bR\forall a,b \in \mathbb{R}所組成的最小sigma field。

  • 依sigma field的定義,open interval的補集也是Borel field的元素,而open interval的補集為close interval,所以也可定義為所有close interval [a,b][a,b]所組成的最小sigma-field。

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