測度 (Measure)
測度理論引入數學領域內,大約可溯至十九世紀末至二十世紀初,出現在Lebesque用以解決積分問題的論述中,而後於1930年代由Kolmogorov及Winener大量融入機率論中,以建立具有嚴謹數學基礎的現代機率論。
「測度」指的就是針對某個區間長度的測量,此概念可推廣至面積、體積、甚至抽象空間的測量,但當我們把測度的概念擴展至具有極限概念之集合時,就沒有那麼直覺,因此需要嚴謹的定義。
Lebesque以實數為宇集(universal set), 以Borel sigma field,運用Cantor的集合論於實數上的分析方式,定義出明確的實數線段長度。其結論是在一段實數線上的可數點其測度為0 ,而無限個可數點,其測度仍然為0,因此可知該線段上有理數集合的測度為0。除此之外,該線段的區間長度即為其測度值,即[a,b],[a,b),(a,b],(a,b)的Lebesque測度均為b−a。
機率測度 (Probability measure)
令(Ω,F)為可測空間(measurable space).
A probability measure is a real-valued function P:F→R satisfying:
Nonnegative: P(E)≥0, ∀E∈F. (所有事件的測度均大於0)
Countable additivity: Let En,n∈N be a sequence of countable collection of disjoint set in F, then P(∪n=1∞En=∑n=1∞P(En)).
- 因為En∈F,根據sigma field的定義,∪n=1∞En∈F,所以P(∪n=1∞En)之值存在。
P(Ω)=1.
一般的測度只需滿足條件1與2即可,而機率測度需滿足條件1,2,3。
Properties
P(E)≤1, ∀E∈F. [由條件3得出]
P(ϕ)=0, P(Ω)=1 [由Sigma field定義與條件3得出]
P(Ec)=1−P(E).
P(E1∪E2)=P(E1)+P(E2)−P(E1∩E2).
E1⊆E2 ⇒ P(E1)≤P(E2).
En,n∈N ⇒ P(∪n=1∞En)≤∑n=1∞P(En).
- 等號成立於En is pairwise independent.
If En,n∈N satisfies E1⊆⋯⊆En⊆⋯, then n→∞limP(En)=P(∪n=1∞En).
If En,n∈N satisfies E1⊇⋯⊇En⊇⋯, then n→∞limP(En)=P(∩n=1∞En).
機率空間 (Probability space)
The triple (Ω,F,P) is called the probability space.
如果未特別說明時sigma field時,通常視為F=P(Ω).
如果是stochastic process時,F為filitration。
Borel field
Borel field為實數中所有open interval (a,b), ∀a,b∈R所組成的最小sigma field。
依sigma field的定義,open interval的補集也是Borel field的元素,而open interval的補集為close interval,所以也可定義為所有close interval [a,b]所組成的最小sigma-field。