測度 (Measure)

測度理論引入數學領域內，大約可溯至十九世紀末至二十世紀初，出現在Lebesque用以解決積分問題的論述中，而後於1930年代由Kolmogorov及Winener大量融入機率論中，以建立具有嚴謹數學基礎的現代機率論。

「測度」指的就是針對某個區間長度的測量，此概念可推廣至面積、體積、甚至抽象空間的測量，但當我們把測度的概念擴展至具有極限概念之集合時，就沒有那麼直覺，因此需要嚴謹的定義。

Lebesque以實數為宇集(universal set), 以Borel sigma field，運用Cantor的集合論於實數上的分析方式，定義出明確的實數線段長度。其結論是在一段實數線上的可數點其測度為0 ，而無限個可數點，其測度仍然為0，因此可知該線段上有理數集合的測度為0。除此之外，該線段的區間長度即為其測度值，即$[a,b],[a,b),(a,b], (a,b)$的Lebesque測度均為$b-a$。

機率測度 (Probability measure)

• 令$(\Omega, \mathcal{F})$為可測空間(measurable space).

• A probability measure is a real-valued function $P: \mathcal{F} \rightarrow \mathbb{R}$ satisfying:

• Nonnegative: $P(E) \geq 0$, $\forall E \in \mathcal{F}$. (所有事件的測度均大於0)

• Countable additivity: Let $E_n,\, n \in \mathbb{N}$ be a sequence of countable collection of disjoint set in $\mathcal{F}$, then $P\left( \cup_{n=1}^{\infty} E_n = \sum_{n=1}^{\infty} P(E_n) \right)$.

  • 因為$E_n \in \mathcal{F}$，根據sigma field的定義，$\cup_{n=1}^{\infty}E_n \in \mathcal{F}$，所以$P\left( \cup_{n=1}^{\infty} E_n \right)$之值存在。

• $P(\Omega) = 1$.

• 一般的測度只需滿足條件1與2即可，而機率測度需滿足條件1，2，3。

Properties

• $P(E) \leq 1$, $\forall E \in \mathcal{F}$. [由條件3得出]

• $P(\phi) = 0$, $P(\Omega)=1$ [由Sigma field定義與條件3得出]

• $P(E^c) = 1 - P(E)$.

• $P(E_1 \cup E_2) = P(E_1) + P(E_2 ) - P(E_1 \cap E_2)$.

• $E_1 \subseteq E_2$ $\Rightarrow$ $P(E_1) \leq P(E_2)$.

• $E_n, \, n \in \mathbb{N}$ $\Rightarrow$ $P \left(\cup_{n=1}^{\infty} E_n \right) \leq \sum_{n=1}^{\infty} P(E_n)$.

  • 等號成立於$E_n$ is pairwise independent.

• If $E_n, \, n \in \mathbb{N}$ satisfies $E_1 \subseteq \cdots \subseteq E_n \subseteq \cdots$, then $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} P(E_n) = P(\cup_{n=1}^{\infty} E_n)$.

• If $E_n, \, n \in \mathbb{N}$ satisfies $E_1 \supseteq \cdots \supseteq E_n \supseteq \cdots$, then $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} P(E_n) = P(\cap_{n=1}^{\infty} E_n)$.

機率空間 (Probability space)

• The triple $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ is called the probability space.

• 如果未特別說明時sigma field時，通常視為$\mathcal{F} = P(\Omega)$.

• 如果是stochastic process時，$\mathcal{F}$為filitration。

Borel field

• Borel field為實數中所有open interval $(a,b)$, $\forall a,b \in \mathbb{R}$所組成的最小sigma field。

• 依sigma field的定義，open interval的補集也是Borel field的元素，而open interval的補集為close interval，所以也可定義為所有close interval $[a,b]$所組成的最小sigma-field。