有界變分 (Bounded variation)

• 有界變分為Riemann積分的基礎，其討論將函數的定義域細分成有限段時，值域加總的性質。
• 積分是將函數的定義域切成無限段時，值域加總之值。

單調函數的性質(properties of monotonic function)

• 函數$f$為定義在開區間$(a,b)$的遞增函數，令$a=x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_n = b$.

• 可得到不等式

  $\sum_{k=1}^{n-1}( f(x_k + ) - f(x_k -) ) \leq f(b) - f(a)$.
  • Proof: Let $y_k \in (x_k, x_{k+1} )$. $\therefore f(x_k +) \leq f(y_k) \text{ and } f(y_{k-1}) \leq f(x_k -)$.
  • $\therefore f(x_k + ) - f(x_k -) \leq f(y_k) - f(y_{k-1}) \Rightarrow \sum_{k=1}^{n-1} \leq \sum_{k=1}^{n-1} f(y_k) - f(y_{k-1})$ [1].
  • $\because f(y_{n-1}) -f(y_0) \leq f(b) - f(a)$ [2].
  • By [1][2], $\sum_{k=1}^{n-1}( f(x_k + ) - f(x_k -) ) \leq f(b) - f(a)$ (QED).

• $f(x_{k}+ ) - f(x_{k}-)$ 是函數 $f$ 在點 $x_k$ 的跳躍值(jump)，此定理說明了函數的所有跳躍值的總和之上限為$f(b) - f(a)$。

• 若函數$f$在閉區間$[a,b]$單調，則函數$f$中的不連續點必為可數個。
  • Proof:　令函數$f$為遞增函教(若$f$為遞減函數時，則$-f$為遞增函數)。
  • 令集合$S_m = \lbrace x_1, x_2, \cdots, x_{n-1} \vert x_1 < x_2 < \cdots < x_{n-1} \rbrace$為在開區間$(a,b)$中，函數跳躍值超過$1/m, \ m > 0$的點。
  • 因此可得 $\frac{n-1}{m} \leq f(b) - f(a)$，即$S_m$必為有限個元素的集合 (因若有無窮多個元素，即$(n-1) \rightarrow \infty$，則$\frac{n-1}{m} \rightarrow \infty$)。
  • 而函數$f$在開區間$(a,b)$中不連續點的集合必為$\cup_{m=1}^{\infty} S_m$的子集合，因此不連續的點必為可數個 (QED)。

分割(Partition)

• 定義：$[a,b]$為緊緻集(閉區間)，令點集合$P = \lbrace x_0, x_1, \cdots, x_n \rbrace$ 滿足不等式 $a= x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_n = b$，則稱$P$為$[a,b]$的一組分割。
• $[x_{k-1}, x_k]$為分割$P$的第$k$個子區間，且令$\Delta x_k = x_k - x_{k-1}$。
• 區間$[a,b]$的所有分割所形成的集合為$\mathbb{P}[a,b]$。

有界變分(Bounded variation)

• 令函數$f$定義在閉區間$[a,b]$，且$P=\lbrace x_0, x_1,\cdots ,x_n \rbrace$為$[a,b]$的分割，令$\Delta f_k = f(x_k) - f(x_{k-1}), \ k=1,2,\cdots, n$，若存在$M > 0 \ni \sum_{k=1}^n \vert \Delta f_k \vert \leq M, \forall P \in \mathbb{P}[a,b]$，則稱函數$f$在閉區間$[a,b]$有界變分。

• Theorem: 若函數$f$在閉區間$[a,b]$單調，則$f$在$[a,b]$有界變分。
  • Proof:　If $f$, then $\forall P \in \mathbb{P}[a,b], \ \Delta f_k \geq 0$.
  • $\therefore \sum_{k=1}^n \vert \Delta f_k \vert = \sum_{k=1}^n \Delta f_k = \sum_{k=1}^n (f(x_k) - f(x_{k-1}) = f(b) - f(a)$ (QED).
• Theorem: 函數$f$在閉區間$[a,b]$連續，且$f^{'}$在開區間$(a,b)$存在且$\vert f^{'}(x) \vert \leq M,\ \forall x \in (a,b)$，則$f$在$[a,b]$有界變分。
  • By mean-value theorem, $\Delta f_k = f(x_k) - f(x_{k-1}) = f^{'}(t_k) (x_k - x_{k-1}), \ t_k \in (x_{k-1}, x_k)$.
  • It implies $\sum_{k=1}^n \vert \Delta f_k \vert = \sum_{k=1}^n \vert f^{'}(t_k) \vert \Delta x_k \leq M \sum_{k=1}^n \Delta x_k = M(b-a)$ (QED).

• Theorem: 函數$f$在閉區間$[a,b]$有界變分 ( $\sum \vert \Delta f_k \vert \leq M ,\ \forall P \in \mathbb{P}[a,b]$)，則$f$在$[a,b]$有界 ( $\vert f(x) \vert \leq \infty,\ \ forall x in [a,b]$).
  • In fact: $\vert f(x) \vert \leq \vert f(a) \vert + M,\ \forall x \in [a,b]$.

• 連續函數不一定是有界變分 。

  • E.g. Brownian motion.
  • E.g. $f(x) = \left \lbrace \begin{array}{ll} x \cos(\pi / (2x)), & x \neq 0, \\ 0, & x=0 \end{array} \right.$, $f$ continuous on $[0,1]$.
    • 考慮 $P = \left\lbrace 0, \frac{1}{2n}, \frac{1}{2n-1},\cdots, \frac{1}{3}, \frac{1}{2}, 1 \right\rbrace$.
    • 可得 $\sum_{k=1}^{2n} \vert \Delta f_k \vert = \frac{1}{2n} + \frac{1}{2n} + \frac{1}{2n-2} + \frac{1}{2n-2} + \cdots + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n}$，$\because \sum_{n=1}^{\infty} \rightarrow \infty$，所以不為有界變分。

• 函數微分有界(bounded)，但函數不一定是有界變分 。
  • E.g. $f(x) = x^{1/3}$，此函數在每個有限區間都是單調(所以為有異變分)，但是$f^{'}(x) = 1/3 x^{-2/3} \rightarrow \infty \text{ as } x \rightarrow 0$.

全變差 (total variation)

• 函數$f$在閉區間$[a,b]$為有界變分，令$\sum (P) = \sum_{k=1}^n \vert \Delta f_k \vert$ 為分割$P = \lbrace x_0, x_1, \cdots, x_n \rbrace$ 在$[a,b]$的變分總和。
• 則全變差 $V_f(a,b) = \sup \lbrace \sum(P) \vert P \in \mathbb{P}[a,b] \rbrace$，常簡寫為$V_f$。

• 由定義可知若$f$在$[a,b]$有界變分，則全變差$0 \leq V_f < \infty$；而$V_f = 0 \Leftrightarrow f (x)= c$(constant).

• 函數$f, g$在閉區間$[a,b]$均為有界變分，則

  • $V_{f \pm g} \leq V_f + V_g$ .
  • $V_{fg} \leq A V_f + B V_g$.

  • $A = \sup\lbrace \vert g(x) \vert \vert \forall x \in [a,b] \rbrace$, $B = \sup \lbrace \vert f(x) \vert \vert \forall x \in [a,b] \rbrace$.

    • Proof: Let $h(x) = f(x)g(x)$, $\forall P \in \mathbb{P}[a,b]$, we have $\begin{array}{rcl} \vert \Delta h_k \vert & = & \vert f(x_k) g(x_k) - f(x_{k-1}) g(x_{k-1}) \vert \\ & = & \vert f(x_k) g(x_k) - f(x_{k-1})g(x_k) + f(x_{k-1}) g(x_k) - f(x_{k-1}) g(x_{k-1}) \vert \\ & \leq & A \vert \Delta f_k \vert + B \vert \Delta g_k \vert . \end{array}$ (QED).
    • 除法不滿足全變差。

*

* Proof:
  {% math %} \being{array}{rcl}
    | \Delta g_k | & = &  \left\vert \frac{1}{f(x_k)} - \frac{1}{f(x_{k-1})} \right\vert \\
                   & = & \left\vert  \frac{\Delta f_k}{f(x_k) f(x_{k-1})} \right\vert \\
                   & \leq & \frac{\Delta f_k}{m^2} \text{ (QED) }.
  \end{array}
  {% endmath %}

全變差的加法性

• Theorem: 函數$f$在閉區間$[a,b]$為有界變分，假設點$c \in (a,b)$，則$f$在閉區間$[a,c]$與$[c,b]$也是有界變分，且滿足以下關係。
• $V_f(a,b) = V_f(a,c) + V_f(c,b), \ \forall c \in (a,b)$.
  • Proof: 首先證明$f$在$[a,c]$與$[c,b]$也是有界變分。
  • [$\Rightarrow$] 令$P_1 \in \mathbb{P}[a,c], \ P_2 \in \mathbb{P}[c,b], P = P_1 \cup P_2 \in \mathbb{P}[a,b]$.
  • $\sum(P_1) + \sum(P_2) = \sum (P_0) \leq V_f(a,b)$.
  • 所以 $\sum (P_1)$ 與 $\sum (P_2)$均小於$V_f(a,b)$，即$f$在閉區間$[a,c]$與$[c,b]$為有界變分。
  • $\therefore V_f(a,c) + V_f(c,b) \leq V_f(a,b) [1] (\because \sup C = \sup A + \sup B,\ C=\lbrace a+b \vert \forall a \in A, b \in B \rbrace)$.
  • [$\Leftarrow$] Let $P = \lbrace x_0 ,x_1, \cdots, x_n \rbrace \in \mathbb{P}[a,b]$, 且 $P_0 = P \cup \lbrace c \rbrace$ 為新的分割(若$c \notin P$時為新的分割)。
  • 若點$c \in [x_{k-1}, x_k]$，則 $| f(x_k) - f(x_{k-1} | \leq |f(x_k) - f(c) | + |f(c) - f(x_{k-1}) |$，可得出$\sum (P) \leq \sum (P_0)$。
  • 而$c$在$P_0$中可分為$P_1$為在$[a,c]$的分割與$P_2$在$[c,b]$的分割，其關係為$\sum(P) \leq \sum(P_0) = \sum(P_1) + \sum(P_2) \leq V_f(a,c) + V_f (c,b)$。
  • 因此$V_f(a,c) + V_f(c,b)$為$\sum(P)$的上界，因此得$V_f(a,b) \leq V_f(a,c) +V_f(c,b)$ [2].
  • 由[1][2]得$V_f(a,b) = V_f(a,c) + V_f(c,b), \ \forall c \in (a,b)$ (QED).

全變性於區間長度變動的性質

• Theorem: 函數$f$在閉區間$[a,b]$為有界變分。令$V(x) = V_f(a,x), \ a < x \leq b$, and $V(a) = 0$, then

  • $V$在閉區間$[a,b]$為遞增函數。
    • $\because a < x < y \leq b, \ V_f(a,y) = V_f(a,x) + v_f(x,y),\ \therefore V(y) - V(x) = V_f(x,y) \geq 0$ (QED).

  • $V-f$在閉區間$[a,b]$也是遞增函數。
    • 令 $D(x) = V(x) - f(x), \ \forall x \in [a,b]$.
    • $a \leq x < y \leq b$, we get $D(y) - D(x) = V(y) - V(x) - (f(y) - f(x)) = V_f(x,y) - (f(y) - f(x))$
    • By definition, $f(y) - f(x) \leq V_f(x,y)$, then $D(y) - D(x) \geq 0$ (QED).

  • 函數$f$必定可拆解成$f = V - (V-f)$。假設定義域的起始點為0，則全變差$V$可解釋為函數從$f(0)$到目前$f(t_k)$的總和，而$V-f$可解釋為函數從$f(0)$到$f(t_{k-1})$的總和。

有界變分函數分解

• Theorem: 函數$f$定義於閉區間$[a,b]$，若函數$f$於閉區間$[a,b]$有界變分 $\Leftrightarrow$ $f$必可分解成兩個(不唯一)遞增函數的差值。
  • Proof: [$\Rightarrow$] 若$f$在閉區間$[a,b]$有界變分，則$f = V - (V-f)$, 且$V$與$V-f$均為遞增函數(QED)。
  • [$\Leftarrow$] $V$ 與$V-f$均為遞增函數，所以$V_V < \infty, V_{V-f} < \infty \Rightarrow V_V + V_{V-f} < \infty$, 可得$V_f \leq V_V + V_{V-f} < \infty$，即$f$為有界變分 (QED)。

連續函數有界變分

• Theorem: 函數$f$在閉區間$[a,b]$為有界變分，令$V(x) = V_f(a,x), \ forall x \in (a,b], \ V(a) = 0$。

• $\forall c \in [a,b]$, $f$在點$c$連續 $\Leftrightarrow$ $V$在點$c$連續。

• Theorem: 函數$f$在閉區間$[a,b]$為連續，則$f$在閉區間$[a,b]$有界變分 $\Leftrightarrow$ $f$可分解為兩個遞增連續函數的差值。

絕對連續函數 (Absolutely continuous function)

• 函數$f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ is absolutely continuous on $[a,b]$ if

  • $\forall \epsilon > 0 \ \exists \delta > 0 \ \ni \sum_{k=1}^n \vert f(b_k) - f(a_k) \vert < \epsilon$
  • $(a_k, b_k) \subset [a,b]$ and $(a_i, b_i) \cap (a_j, b_j) = \phi, \ i \neq j$.

• 函數$f$在閉區間$[a,b]$絕對連續 $\Rightarrow$ 在$[a,b]$有界變分。 (反之不成立)。

• 函數$f$在閉區間$[a,b]$滿足uniform Lipchitz condition of order 1 $\Rightarrow$ $f$在閉區間$[a,b]$絕對連續。

• $f,\ g$在閉區間$[a,b]$絕對連續，則以下也為絕對連續：

  • $\vert f \vert$.
  • $cf, \ \forall c \in \mathbb{R}$.
  • $f+ g$.
  • $fg$.
  • $\frac{f}{g}$ if $g$ is bounded away from zero.