單調序列 (Monotonic sequence)
- 定義:單調數列(monotonic sequence)
- 為一數列。
- 遞增數列(increasing sequence): .
- 遞減數列(decreasing sequence): .
以下定理告訴我們不必知道極限而能判定收斂數列的方法。
- Theorem:有界單調數列必定收斂
- 在實數系中,每個有界(上、下界)遞增數列都會收斂到某一實數。
- 在實數系中,每個有界(上、下界)遞減數列都會收斂到某一實數。
- Proof(1):
- 令為一有界遞增數列,因為有界,所以可找到.
- 只需證明為Cauchy數列,即前述定理可知Cauchy數列在實數系中會收斂到某一實數。
- ,根據Archimedes性質可知。
- 將區間切為等分點,。
- 令, .
- 因為是自然數的非空子集,所以有最小元素,設為.
- 當,因為為遞增數列,所以.
- 依的定義,可得。
- 所以。
- 因此.
- 所以為Cauchy 數列。(QED).
- Proof(2):
- 若為一遞減數列,則為一遞增數列,必斂到一實數.
- 因此收斂到實數(QED).
- Theorem:區間套定理(nested interval theorem)
- 是實數中的閉區間所形成的遞減序列,且.
- 則,且 .
- 條件也可寫成.
- Proof(2):
- 考慮左端點所形成的數列,與右端點形成的數列.
- 由給定條件可知為遞增數列,遞減數列。
- 因為所有區間都是的子區間,所以.
- 所以都是有界數列。
- 由定理可知兩者都是收斂數列,即, 存在.
- 因為,因此 (QED).
- Proof(1):
- .
- .
- 同理可得.
- ,即屬於所有的交集。
- 若同時都屬於所有的交集,則.
- .
- (QED).
- Theorem:由區間套定理證明實數的完備性。
- 已知實數系是一個有序體且區間套定理成立,則可證明實數系的完備性。
- Proof:
- 令.
- .
- If then and .
- If then and .
- 於是可得,而且.
- 依數學歸納法可得, 而且.
- 因為為遞減的閉區間序列,且。
- 依區間套定理,恰有一實數,而且 [1].
- 因為,所以可得。
- 同理可得[2].
- From [1,2] 可得實數系的完備性(QED)。