單調序列 (Monotonic sequence)

• 定義：單調數列(monotonic sequence)
  • $\{a_n\}$為一數列。
  • 遞增數列(increasing sequence): $\forall n \in \mathbb{N},\ a_n \leq a_{n+1}$.
  • 遞減數列(decreasing sequence): $\forall n \in \mathbb{N},\ a_n \geq a_{n+1}$.

• 以下定理告訴我們不必知道極限而能判定收斂數列的方法。

• Theorem:有界單調數列必定收斂
  1. 在實數系中，每個有界(上、下界)遞增數列都會收斂到某一實數。
  2. 在實數系中，每個有界(上、下界)遞減數列都會收斂到某一實數。
  • Proof(1):
  • 令$\{ a_n\}$為一有界遞增數列，因為有界，所以可找到$a,b \in \mathbb{R} \ \ni a_n \in [a,b),\ \forall n \in \mathbb{N}$.
  • 只需證明$\{ a_n \}$為Cauchy數列，即前述定理可知Cauchy數列在實數系中會收斂到某一實數。
  • $\forall \epsilon > 0$，根據Archimedes性質可知$\exists k \in \mathbb{N} \ni k > (b-a)/\epsilon$。
  • 將區間$[a,b]$切為$k$等分點，$a_0 = a < a_1 < a_2 < \cdots < a_k = b$。
  • 令$j = \max \{i | 1 \leq i \leq k, a_n \in [a_{i-1}, a_i) \}$, $S=\{n \in \mathbb{N} | a_n \in [a_{j-1}, a_j) \}$.
  • 因為$S$是自然數的非空子集，所以$S$有最小元素，設為$n_0$.
  • 當$n \in \mathbb{N} \text{ and } n \geq n_0$，因為$\{ a_n \}$為遞增數列，所以$a_{j-1} \leq a_{n_0} \leq a_n$.
  • 依$j$的定義，可得$a_n < a_j$。
  • 所以$\forall n \in \mathbb{N}, \ n \geq n_0 \ni a_n \in [a_{j-1}, a_j)$。
  • 因此$\forall m,n \geq n_0 \ni |a_m - a_n | < a_j - a_{j-1} = (b-a)/k < \epsilon$.
  • 所以$\{ a_n \}$為Cauchy 數列。(QED).
  • Proof(2):
  • 若$\{b_n\}$為一遞減數列，則$\{-b_n\}$為一遞增數列，必斂到一實數$b$.
  • 因此$\{b_n\}$收斂到實數$-b$(QED).
• Theorem:區間套定理(nested interval theorem)
  • $[a_1, b_1] \supset [a_2,b_2] \supset \cdots \supset [a_n, b_n] \supset \cdots$是實數中的閉區間所形成的遞減序列，且$\lim_{n \rightarrow \infty} (b_n - a_n) = 0$.
  • 則$\cap_{n=1}^{\infty} [a_n, b_n] = c \in \mathbb{R}$，且 $\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = \lim_{n \rightarrow \infty} b_n = c$.
  • 條件$[a_1, b_1] \supset [a_2,b_2] \supset \cdots \supset [a_n, b_n] \supset \cdots$也可寫成$a_1 \leq a_2 \leq \cdots a_n \leq \cdots \leq b_n \leq \cdots \leq b_2 \leq b_1$.
  • Proof(2):
  • 考慮左端點所形成的數列$\{a_n\}$，與右端點形成的數列$\{ b_n\}$.
  • 由給定條件可知$a_n \leq a_{n+1}$為遞增數列，$b_n \geq b_{n+1}$遞減數列。
  • 因為所有區間都是$[a_1, b_1]$的子區間，所以$\forall n \in \mathbb{N},\ a_1 \leq a_n \leq b_n \leq b_1$.
  • 所以$\{a_n\}, \ \{ b_n\}$都是有界數列。
  • 由定理可知兩者都是收斂數列，即$\lim_{n \rightarrow \infty}a_n$, $\lim_{n \rightarrow \infty}b_n$存在.
  • 因為$\lim_{n \rightarrow \infty}(b_n - a_n) = 0$，因此$\lim_{n \rightarrow \infty}a_n = \lim_{n \rightarrow \infty}b_n = c$ (QED).
  • Proof(1):
  • $\forall m, n \in \mathbb{N},\ a_m \leq a_{m+n} \leq b_{m+n} \leq b_n$.
  • $\therefore \forall m \in \mathbb{N},\ a_m \leq \lim_{n \rightarrow \infty}b_n = c$.
  • 同理可得$\forall n \in \mathbb{N}, \ c = \lim_{n \rightarrow \infty}a_m \leq b_n$.
  • $\therefore \forall n \in \mathbb{N}, \ a_n \leq c \leq b_n \text{ or } c \in [a_n, b_n]$，即$c$屬於所有$[a_n, b_n]$的交集。
  • 若$c,d$同時都屬於所有$[a_n, b_n]$的交集，則$\forall n \in \mathbb{N},\ |c-d| \leq b_n - a_n$.
  • $\lim_{n \rightarrow \infty}(b_n -a_n) = 0, \Rightarrow c -d = 0 \Leftrightarrow c = d$.
  • $\therefore \cap_{n=1}^{\infty} [a_n, b_n] = c$ (QED).
• Theorem:由區間套定理證明實數的完備性。
  • 已知實數系是一個有序體且區間套定理成立，則可證明實數系的完備性。
  • Proof:
  • 令$\phi \neq A, B \subset \mathbb{R}, \ A \cup B = \mathbb{R},\ A \cap B = \phi, \text{ and } A < B$.
  • $\forall a_1 \in A,\ \forall b_1 \in B, \ a_1 < b_1$.
  • If $(a_1 + b_1)/2 \in A$ then $a_2 = (a_1 + b_1)/2$ and $b_2 = b_1$.
  • If $(a_1 + b_1)/2 \in B$ then $a_2 = a_1$ and $b_2 = (a_1 + b_1)/2$.
  • 於是可得$a_2 \in A,\ b_2 \in B, \ [a_2, b_2] \subset [a_1, b_1]$，而且$b_2 - a_2 = (b_1 - a_1)/2$.
  • 依數學歸納法可得$\forall a_n \in A, \ \forall b_n \in B \ni [a_{n+1}, b_{n+1}] \subset [a_n, b_n],\ \forall n \in \mathbb{N}$, 而且$b_n - a_n = (b_1 - a_1)/2^{n-1}$.
  • 因為$[a_1, b_1] \supset [a_2, b_2] \supset \cdots \supset [a_n, b_n] \supset \cdots$為遞減的閉區間序列，且$\lim_{n \rightarrow \infty}(b_n - a_n) = \lim_{n \rightarrow \infty}(b_1 - a_1)/2^{n-1} = 0$。
  • 依區間套定理，恰有一實數$c \ni [a_n,b_n], \ forall n \in \mathbb{N}$，而且$\lim a_n = \lim b_n = c$ [1].
  • 因為$\forall a \in A, \ a < b_n \forall n$，所以可得$a \leq \lim b_n = c$。
  • 同理可得$\forall n, \ a_n < b, \therefore c = \lim a_n \leq b$[2].
  • From [1,2] 可得實數系的完備性(QED)。