單調序列 (Monotonic sequence)

    • 定義:單調數列(monotonic sequence)
    • {an} \{a_n\} 為一數列。
    • 遞增數列(increasing sequence): nN, anan+1 \forall n \in \mathbb{N},\ a_n \leq a_{n+1} .
    • 遞減數列(decreasing sequence): nN, anan+1 \forall n \in \mathbb{N},\ a_n \geq a_{n+1} .
  • 以下定理告訴我們不必知道極限而能判定收斂數列的方法。

    1. Theorem:有界單調數列必定收斂
    2. 在實數系中,每個有界(上、下界)遞增數列都會收斂到某一實數。
    3. 在實數系中,每個有界(上、下界)遞減數列都會收斂到某一實數。
    • Proof(1):
    • {an} \{ a_n\} 為一有界遞增數列,因為有界,所以可找到a,bR an[a,b), nN a,b \in \mathbb{R} \ \ni a_n \in [a,b),\ \forall n \in \mathbb{N}.
    • 只需證明{an} \{ a_n \} 為Cauchy數列,即前述定理可知Cauchy數列在實數系中會收斂到某一實數。
    • ϵ>0 \forall \epsilon > 0 ,根據Archimedes性質可知kNk>(ba)/ϵ \exists k \in \mathbb{N} \ni k > (b-a)/\epsilon
    • 將區間[a,b] [a,b] 切為k k 等分點,a0=a<a1<a2<<ak=b a_0 = a < a_1 < a_2 < \cdots < a_k = b
    • j=max{i1ik,an[ai1,ai)} j = \max \{i | 1 \leq i \leq k, a_n \in [a_{i-1}, a_i) \} , S={nNan[aj1,aj)} S=\{n \in \mathbb{N} | a_n \in [a_{j-1}, a_j) \} .
    • 因為S S 是自然數的非空子集,所以S S 有最小元素,設為n0 n_0 .
    • nN and nn0 n \in \mathbb{N} \text{ and } n \geq n_0,因為{an} \{ a_n \} 為遞增數列,所以aj1an0an a_{j-1} \leq a_{n_0} \leq a_n .
    • j j 的定義,可得an<aj a_n < a_j
    • 所以nN, nn0an[aj1,aj) \forall n \in \mathbb{N}, \ n \geq n_0 \ni a_n \in [a_{j-1}, a_j)
    • 因此m,nn0aman<ajaj1=(ba)/k<ϵ \forall m,n \geq n_0 \ni |a_m - a_n | < a_j - a_{j-1} = (b-a)/k < \epsilon .
    • 所以{an} \{ a_n \} 為Cauchy 數列。(QED).
    • Proof(2):
    • {bn} \{b_n\} 為一遞減數列,則{bn} \{-b_n\} 為一遞增數列,必斂到一實數b b .
    • 因此{bn} \{b_n\} 收斂到實數b -b (QED).
    • Theorem:區間套定理(nested interval theorem)
    • [a1,b1][a2,b2][an,bn] [a_1, b_1] \supset [a_2,b_2] \supset \cdots \supset [a_n, b_n] \supset \cdots 是實數中的閉區間所形成的遞減序列,且limn(bnan)=0 \lim_{n \rightarrow \infty} (b_n - a_n) = 0 .
    • n=1[an,bn]=cR \cap_{n=1}^{\infty} [a_n, b_n] = c \in \mathbb{R} ,且 limnan=limnbn=c \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = \lim_{n \rightarrow \infty} b_n = c .
    • 條件[a1,b1][a2,b2][an,bn] [a_1, b_1] \supset [a_2,b_2] \supset \cdots \supset [a_n, b_n] \supset \cdots 也可寫成a1a2anbnb2b1 a_1 \leq a_2 \leq \cdots a_n \leq \cdots \leq b_n \leq \cdots \leq b_2 \leq b_1 .
    • Proof(2):
    • 考慮左端點所形成的數列{an} \{a_n\} ,與右端點形成的數列{bn} \{ b_n\} .
    • 由給定條件可知anan+1 a_n \leq a_{n+1}為遞增數列,bnbn+1 b_n \geq b_{n+1} 遞減數列。
    • 因為所有區間都是[a1,b1] [a_1, b_1] 的子區間,所以nN, a1anbnb1 \forall n \in \mathbb{N},\ a_1 \leq a_n \leq b_n \leq b_1 .
    • 所以{an}, {bn} \{a_n\}, \ \{ b_n\} 都是有界數列。
    • 由定理可知兩者都是收斂數列,即limnan \lim_{n \rightarrow \infty}a_n, limnbn \lim_{n \rightarrow \infty}b_n 存在.
    • 因為limn(bnan)=0 \lim_{n \rightarrow \infty}(b_n - a_n) = 0 ,因此limnan=limnbn=c \lim_{n \rightarrow \infty}a_n = \lim_{n \rightarrow \infty}b_n = c (QED).
    • Proof(1):
    • m,nN, amam+nbm+nbn \forall m, n \in \mathbb{N},\ a_m \leq a_{m+n} \leq b_{m+n} \leq b_n .
    • mN, amlimnbn=c \therefore \forall m \in \mathbb{N},\ a_m \leq \lim_{n \rightarrow \infty}b_n = c .
    • 同理可得nN, c=limnambn \forall n \in \mathbb{N}, \ c = \lim_{n \rightarrow \infty}a_m \leq b_n .
    • nN, ancbn or c[an,bn] \therefore \forall n \in \mathbb{N}, \ a_n \leq c \leq b_n \text{ or } c \in [a_n, b_n] ,即c c 屬於所有[an,bn] [a_n, b_n] 的交集。
    • c,d c,d 同時都屬於所有[an,bn] [a_n, b_n] 的交集,則nN, cdbnan \forall n \in \mathbb{N},\ |c-d| \leq b_n - a_n .
    • limn(bnan)=0,cd=0c=d\lim_{n \rightarrow \infty}(b_n -a_n) = 0, \Rightarrow c -d = 0 \Leftrightarrow c = d .
    • n=1[an,bn]=c \therefore \cap_{n=1}^{\infty} [a_n, b_n] = c (QED).
    • Theorem:由區間套定理證明實數的完備性。
    • 已知實數系是一個有序體且區間套定理成立,則可證明實數系的完備性。
    • Proof:
    • ϕA,BR, AB=R, AB=ϕ, and A<B \phi \neq A, B \subset \mathbb{R}, \ A \cup B = \mathbb{R},\ A \cap B = \phi, \text{ and } A < B .
    • a1A, b1B, a1<b1 \forall a_1 \in A,\ \forall b_1 \in B, \ a_1 < b_1 .
    • If (a1+b1)/2A (a_1 + b_1)/2 \in A then a2=(a1+b1)/2 a_2 = (a_1 + b_1)/2 and b2=b1 b_2 = b_1 .
    • If (a1+b1)/2B (a_1 + b_1)/2 \in B then a2=a1 a_2 = a_1 and b2=(a1+b1)/2 b_2 = (a_1 + b_1)/2 .
    • 於是可得a2A, b2B, [a2,b2][a1,b1] a_2 \in A,\ b_2 \in B, \ [a_2, b_2] \subset [a_1, b_1] ,而且b2a2=(b1a1)/2 b_2 - a_2 = (b_1 - a_1)/2 .
    • 依數學歸納法可得anA, bnB[an+1,bn+1][an,bn], nN \forall a_n \in A, \ \forall b_n \in B \ni [a_{n+1}, b_{n+1}] \subset [a_n, b_n],\ \forall n \in \mathbb{N} , 而且bnan=(b1a1)/2n1 b_n - a_n = (b_1 - a_1)/2^{n-1} .
    • 因為[a1,b1][a2,b2][an,bn] [a_1, b_1] \supset [a_2, b_2] \supset \cdots \supset [a_n, b_n] \supset \cdots 為遞減的閉區間序列,且limn(bnan)=limn(b1a1)/2n1=0 \lim_{n \rightarrow \infty}(b_n - a_n) = \lim_{n \rightarrow \infty}(b_1 - a_1)/2^{n-1} = 0
    • 依區間套定理,恰有一實數c[an,bn], forallnN c \ni [a_n,b_n], \ forall n \in \mathbb{N} ,而且liman=limbn=c \lim a_n = \lim b_n = c [1].
    • 因為aA, a<bnn \forall a \in A, \ a < b_n \forall n ,所以可得alimbn=c a \leq \lim b_n = c
    • 同理可得n, an<b,c=limanb \forall n, \ a_n < b, \therefore c = \lim a_n \leq b [2].
    • From [1,2] 可得實數系的完備性(QED)。

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