歐式空間拓樸集合( Euclidean space topology)

  • Rk \mathbb{R}^k 中的元素都是實數所形成的有序 k k 元組 (ordered k-tuple),即 Rk={(x1,x2,,xk)x1,x2,,xkR} \mathbb{R}^k = \{(x_1, x_2, \cdots, x_k) | x_1, x_2, \cdots , x_k \in \mathbb{R} \} .

    • 加法: (x1,x2,,xk)+(y1,y2,,yk)=(x1+y1,x2+y2,,xk+yk). (x_1, x_2, \cdots, x_k) + (y_1, y_2, \cdots, y_k) = (x_1 + y_1, x_2 + y_2, \cdots, x_k + y_k).
    • 係數乘法: aR, a(x1,x2,,xk)=(ax1,ax2,,axk)\forall a \in \mathbb{R},\ a (x_1, x_2, \cdots, x_k) = (ax_1, a x_2, \cdots, ax_k) .
    • 此兩項運算使得 Rk \mathbb{R}^k 為一個佈於 R \mathbb{R} k k 維向量空間。

標準內積(standard inner product)

  • 向量空間 Rk \mathbb{R}^k 的標準內積 x,y=x1y1+x2y2++xkyk \langle x, y \rangle = x_1 y_1 + x_2 y_2 + \cdots + x_k y_k .

  • 內積的基本性質如下:

    • xRk, x,x0; x,x=0x=0 \forall x \in \mathbb{R}^k,\ \langle x, x \rangle \geq 0;\ \langle x,x \rangle = 0 \Leftrightarrow x=0 .
    • x,yRk, x,y=y,x \forall x, y \in \mathbb{R}^k, \ \langle x, y \rangle = \langle y,x \rangle .
    • x,y,zRk, a,bR,ax+by,z=ax,z+by,z \forall x, y, z \in \mathbb{R}^k,\ a,b \in \mathbb{R}, \langle ax + by, z \rangle = a \langle x, z \rangle + b \langle y, z \rangle.
  • 內積與度量(距離)最主要的差別在於內積不需滿足三角不等式,而度量不需滿足分配律。

範數 (norm)

  • 可在 Rk \mathbb{R}^k 上定義範數(norm)或是長度(length)的概念使得 Rk \mathbb{R}^k 成為賦範空間(normed vector space)。
  • xRk \forall x \in \mathbb{R}^k ,定義範數 x=x,x=x12+x22++xk2 \Vert x \Vert = \sqrt{\langle x, x \rangle} = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \cdots +x_k^2} .

  • 範數的基本性質如下:

    • xRk, x0; x=0x=0 \forall x \in \mathbb{R}^k, \ \Vert x \Vert \geq 0; \ \Vert x \Vert =0 \Leftrightarrow x=0 .
    • xRk, aR,ax=ax \forall x \in \mathbb{R}^k,\ \forall a \in \mathbb{R} , \Vert ax \Vert = | a | \Vert x \Vert .
    • (三角不等式) x,yRk, x+yx+y \forall x, y \in \mathbb{R}^k, \ \Vert x+y \Vert \leq \Vert x \Vert + \Vert y \Vert .

度量空間(Metric space)

  • 利用 Rk \mathbb{R}^k 中範數概念,可在其中定義距離(metric or distance),而使得 Rk \mathbb{R}^k 成為度量空間(metric space)。
  • x,yRk x, y \in \mathbb{R}^k 定義 d(x,y)=xy=(x1y1)2+(x2y2)2++(xkyk)2 d(x,y) = \Vert x - y \Vert = \sqrt{(x_1 - y_1)^2 + (x_2 - y_2)^2 + \cdots + (x_k - y_k)^2} .

  • 距離或度量有以下基本性質:

    • x,yRk, d(x,y)0; d(x,y)=0x=y \forall x, y \in \mathbb{R}^k, \ d(x,y) \geq 0; \ d(x,y)= 0 \Leftrightarrow x=y .
    • x,yRk, d(x,y)=d(y,x) \forall x, y \in \mathbb{R}^k,\ d(x,y) = d(y,x) .
    • x,y,zRk, d(x,z)d(x,y)+d(y,z) \forall x, y, z \in \mathbb{R}^k, \ d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z) .

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