歐式空間拓樸集合( Euclidean space topology)

• $\mathbb{R}^k$中的元素都是實數所形成的有序 $k$元組 (ordered k-tuple)，即 $\mathbb{R}^k = \{(x_1, x_2, \cdots, x_k) | x_1, x_2, \cdots , x_k \in \mathbb{R} \}$.

  • 加法： $(x_1, x_2, \cdots, x_k) + (y_1, y_2, \cdots, y_k) = (x_1 + y_1, x_2 + y_2, \cdots, x_k + y_k).$
  • 係數乘法： $\forall a \in \mathbb{R},\ a (x_1, x_2, \cdots, x_k) = (ax_1, a x_2, \cdots, ax_k)$.
  • 此兩項運算使得 $\mathbb{R}^k$為一個佈於 $\mathbb{R}$的 $k$維向量空間。

標準內積(standard inner product)

• 向量空間 $\mathbb{R}^k$的標準內積 $\langle x, y \rangle = x_1 y_1 + x_2 y_2 + \cdots + x_k y_k$.

• 內積的基本性質如下：

  • $\forall x \in \mathbb{R}^k,\ \langle x, x \rangle \geq 0;\ \langle x,x \rangle = 0 \Leftrightarrow x=0$.
  • $\forall x, y \in \mathbb{R}^k, \ \langle x, y \rangle = \langle y,x \rangle$.
  • $\forall x, y, z \in \mathbb{R}^k,\ a,b \in \mathbb{R}, \langle ax + by, z \rangle = a \langle x, z \rangle + b \langle y, z \rangle$.

• 內積與度量(距離)最主要的差別在於內積不需滿足三角不等式，而度量不需滿足分配律。

範數 (norm)

• 可在 $\mathbb{R}^k$上定義範數(norm)或是長度(length)的概念使得 $\mathbb{R}^k$成為賦範空間(normed vector space)。

• $\forall x \in \mathbb{R}^k$，定義範數 $\Vert x \Vert = \sqrt{\langle x, x \rangle} = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \cdots +x_k^2}$.

• 範數的基本性質如下：

  • $\forall x \in \mathbb{R}^k, \ \Vert x \Vert \geq 0; \ \Vert x \Vert =0 \Leftrightarrow x=0$.
  • $\forall x \in \mathbb{R}^k,\ \forall a \in \mathbb{R} , \Vert ax \Vert = | a | \Vert x \Vert$.
  • (三角不等式) $\forall x, y \in \mathbb{R}^k, \ \Vert x+y \Vert \leq \Vert x \Vert + \Vert y \Vert$.

度量空間(Metric space)

• 利用 $\mathbb{R}^k$中範數概念，可在其中定義距離(metric or distance)，而使得 $\mathbb{R}^k$ 成為度量空間(metric space)。

• $x, y \in \mathbb{R}^k$ 定義 $d(x,y) = \Vert x - y \Vert = \sqrt{(x_1 - y_1)^2 + (x_2 - y_2)^2 + \cdots + (x_k - y_k)^2}$.

• 距離或度量有以下基本性質：

  • $\forall x, y \in \mathbb{R}^k, \ d(x,y) \geq 0; \ d(x,y)= 0 \Leftrightarrow x=y$.
  • $\forall x, y \in \mathbb{R}^k,\ d(x,y) = d(y,x)$.
  • $\forall x, y, z \in \mathbb{R}^k, \ d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z)$.