緊緻集(Compact set)

  • 緊緻集是近代分析數學中最重要的概念之一。

  • 在微積分的課程中,我們已知定理「定義域是 R \mathbb{R} 中有限閉區間的連續函數必是有界函數」,而能夠有如此好的結果,必是有其特殊性質。首先我們先觀察其中部份現象。

  • f:AR f: A \rightarrow \mathbb{R} 為一連續函數, A A 為一區間。當要討論 f f 是否有為界函數時,必須在區間 A A 中的每個點附近討論。
    • cA \forall c \in A ,若 f f c c 連續,則 δc>0f(x)f(c)1,xA,xcδc \exists \delta_c > 0 \ni | f(x) - f(c) | \le 1, \forall x \in A, |x- c| \le \delta_c
    • Let Uc={xRxcδc}, Bc=1+f(c) U_c = \lbrace x \in \mathbb{R} | |x-c| \le \delta_c \rbrace, \ B_c = 1 + |f(c)|
    • 上式表示 cA \forall c \in A ,必可找到 c c 的開鄰域 Uc U_c 使得 f f UcA U_c \cap A 上有界。
    • 此種表示法表示的意義是原始問題為「 f f 在整個定義域 A A 是否有界」?,這樣的全域問題,可以在每個點 c c 的鄰域 Uc U_c 上找到局部的解。
    • 即由集合 A A 引出一集合族 {UccA} \lbrace U_c | c \in A \rbrace ,且此集合族滿足 A{UccA} A \subset \cup \lbrace U_c | c \in A \rbrace ,此種現象稱為覆蓋(covering)。

覆蓋(Covering)

    • 定義:覆蓋
    • SRk S \subset \mathbb{R}^k ,若由 Rk \mathbb{R}^k 的子集所形成集合族 {CααI} \lbrace C_\alpha | \alpha \in I \rbrace 的聯集包含集合 S S
    • S{CααI} S \subset \cup \lbrace C_\alpha | \alpha \in I \rbrace
    • 則稱集合族 {CααI} \lbrace C_\alpha | \alpha \in I \rbrace 為集合 S S 的一個覆蓋。
    • 定義:子覆蓋(subcovering)
    • 若集合族 {CααI} \lbrace C_\alpha | \alpha \in I \rbrace 是集合 S S 的一個覆蓋,而 JI J \subset I
    • {CααJ} \lbrace C_\alpha | \alpha \in J \rbrace 也是集合 S S 的覆蓋,則稱其為 {CααI} \lbrace C_\alpha | \alpha \in I \rbrace 的一個子覆蓋。
    • 定義:開覆蓋(open convering)
    • 若集合族 UααI U_\alpha | \alpha \in I 是集合 S S 的一個覆蓋,且其中每個 Uα U_\alpha 都是 Rk \mathbb{R}^k 的開集合,則 {UααI} \lbrace U_\alpha | \alpha \in I \rbrace 稱為集合 S S 的一個開覆蓋。
    • E.g. {(x,x+2)RxR} \lbrace (x, x+2) \subset \mathbb{R} | x\in \mathbb{R} \rbrace 是實數的一個開覆蓋。
    • E.g. {(n,n+2)RnZ} \lbrace (n, n+2) \subset \mathbb{R} | n \in \mathbb{Z} \rbrace 是實數的一個可數子覆蓋,且沒有有限的子覆蓋。
    • Corollary: 有理點為中心、有理數為半徑的開球
    • G={A1,A2,} G= \{ A_1, A_2, \cdots\} 為可數個半徑與圓心均為有理數 k k 維球所形成的集合族。
    • SRk S \mathbb{R}^k 為非空開集合且xS x \in S
    • 則存在至少一個在 G G 中的球包含 x x 且包含於 S S ,即 xAkS x \in A_k \subseteq S for some AkG A_k \in G .
    • Proof:
    • 因為 G G 可視為有理數的集合(球心與半徑均為有理數),且可數集合的聯集仍為可數,因此 G G 為可數集合。
    • xSRk \because x \in S \subset \mathbb{R}^k ,且 S S 為開集合, r>0,Br(x)S \therefore \forall r > 0, B_{r}(x) \subseteq S .
    • 因此在 S S 中必定存在非常靠近 x x 的點 y y ,且 yBr(x) y \in B_{r}(x) .
    • 因為 x=(x1,x2,,xk), y=(y1,y2,,yk) x = (x_1, x_2, \cdots, x_k),\ y=(y_1, y_2, \cdots, y_k) ,因此 yiQyixir/(4k), foralli=1,2,,k y_i \in \mathbb{Q} \ni | y_i - x_i| \le r/(4k),\ forall i=1,2,\cdots, k .
    • 可得 yxy1x1+y2x2+ykxkr/4 \Vert y-x \Vert \leq | y_1 - x_1| + |y_2 - x_2| + \cdots |y_k - x_k| \le r/4 .
    • qQ. r/4qr/2 q \in \mathbb{Q}. \ r/4 \le q \le r/2 ,則 xBq(y)Br(x)S x \in B_{q}(y) \subseteq B_r(x) \subseteq S , 但 Bq(y)G B_q(y) \in G (QED).
Corollary: rational ball.
    • Theorem:Lindelof 覆蓋定理
    • SRk\forall S \subset \mathbb{R}^k S S 的每個開覆蓋都有一個可數的子覆蓋。
    • Proof:
    • {UααI} \lbrace U_\alpha | \alpha \in I \rbrace 是集合 S S 的開覆蓋。
    • SαIUα S \subset \cup_{\alpha \in I} U_\alpha ,我們將證明其有一個可數的子覆蓋。
    • 因為以有理點為中心,半徑為有理數的所有開球構成一可數族,記為 {Br(y)RyQk,rQ+}={BnnN} \lbrace B_r(y) \subset \mathbb{R} | y \in \mathbb{Q}^k, r \in \mathbb{Q}^{+} \rbrace = \lbrace B_n | n \in \mathbb{N} \rbrace
    • M={nNα, BnUα} M = \lbrace n \in \mathbb{N} | \exists \alpha, \ B_n \subset U_\alpha \rbrace ,則 M M 為可數集合。
    • SαIUα xS αIxUα \because S \subset \cup_{\alpha \in I} U_\alpha \ \therefore \forall x \in S \ \exists \alpha \in I \ni x \in U_\alpha .
    • 根據前一個引理, mNxBmUα \exists m \in \mathbb{N} \ni x \in B_m \subset U_\alpha ,而依 M M 的定義可知 mM m \in M .
    • 因此 S{BnnM} S \subset \cup \lbrace B_n | n \in M \rbrace
    • nM,αIBnUα \forall n \in M, \exists \alpha \in I \ni B_n \subset U_\alpha,所以可選出 α(n)IBnUα(n) \alpha(n) \in I \ni B_n \subset \cup U_{\alpha(n)} .
    • 因為 M M 為可數集,所以 {α(n)InM} \lbrace \alpha(n) \in I | n \in M \rbrace I I 的可數子集。
    • 而且由 S{BnnM} S \subset \cup \lbrace B_n | n \in M \rbrace 可得 S{Uα(n)nM} S \subset \lbrace \cup U_{\alpha(n)} | n \in M \rbrace
    • {Uα(n)nM} \lbrace U_{\alpha(n)} | n \in M \rbrace S S 的開覆蓋 {UααI} \lbrace U_\alpha | \alpha \in I \rbrace 的一個可數子覆蓋。(QED).
  • 由此定理可知 Rk \mathbb{R}^k 中的每個子集之每個開覆蓋均有可數的子覆蓋,但是可數不一定為有限,以下定理給出了那些子集的每個開覆蓋不存在有限的子覆蓋。

    • 定理 :Heine-Borel定理
    • SRk \forall S \subset \mathbb{R}^k 為有界的閉集合,則 S S 的每個開覆蓋都有一個有限子覆蓋。
    • Note: 此定理與實數系的完備性等價。
    • Proof:
      • S{Uαα} S \subset \lbrace U_\alpha | \alpha \rbrace 為開覆蓋,依Lindelof定理必存在可數子覆蓋 {Uα(n)nN} \lbrace U_\alpha(n) | n \in \mathbb{N} \rbrace
      • 我們要證明 mNSn=1,2,,mUα(n) \exists m \in \mathbb{N} \ni S \subset \cup_{n=1,2,\cdots,m} U_{\alpha(n)} ,其為 {UααI} \lbrace U_\alpha | \alpha \in I \rbrace 的一個有限可數子覆蓋。
      • (反證法):假設滿足上述條件的正整數 m m 不存在,即 nN,SUα(1)Uα(2)Iα(n) \forall n \in \mathbb{N}, S \nsubseteq U_{\alpha(1)} \cup U_{\alpha(2)} \cup \cdots \cup I_{\alpha(n)} .
      • Fn=S(RkUα(1)Uα(2)Uα(n)) F_n = S \cap \left( \mathbb{R}^k - U_{\alpha(1)} \cup U_{\alpha(2)} \cup \cdots \cup U_{\alpha(n)} \right) , 則定義 Fn F_n Rk \mathbb{R}^k 中的一個非空有界閉集合。
      • Fn F_n 為遞減序列,即 F1F2Fn F_1 \supset F_2 \supset \cdots \supset F_n \supset \cdots .
      • 我們將證明全體 Fn F_n 的交集不是空集合,即 x0Rkn,x0Fn \exists x_0 \in \mathbb{R}^k \ni \forall n, x_0 \in F_n .
      • xnFn, nN x_n \in F_n, \ \forall n \in \mathbb{N} ,且 A={xnnN} A = \lbrace x_n | n \in \mathbb{N} \rbrace .
      • 因為 A A 為有界集合 S S 的子集合,所以 A A 為有界集合。
      • case 1: 若 A A 為有限集。
      • 存在 {n1n2nl}Nxn1=xn2==xnl=x0 \lbrace n_1 \le n_2 \le \cdots n_l \cdots \rbrace \subset \mathbb{N} \ni x_{n_1} = x_{n_2} = \cdots =x_{n_l} = x_0 .
      • 因為 nN,limlnl= \forall n \in \mathbb{N}, \lim_{l \rightarrow \infty}n_l = \infty , 所以 lNFnlFnnln \exists l \in \mathbb{N} \ni F_{n_l} \subset F_n \forall n_l \geq n ,即 x0=xnlFnlfn x_0 = x_{n_l} \in F_{n_l} \subset f_n .
      • x0FnnN x_0 \in F_n \forall n \in \mathbb{N} .
      • case 2: 若 A A 為無限集。
      • 依Bolzano-Weierstrass定理, A A 有一個聚集點 x0 x_0
      • AF1 \because A \subset F_1 F1 F_1 為閉集合,所以 x0F1 x_0 \in F_1 .
      • 因為 nN \forall n \in \mathbb{N} , x0 x_0 的每個鄰域 N N 都與 A A 有無窮多個交點,所以 NA{x1,x2,,xn} N \cap A - \lbrace x_1,x_2,\cdots, x_n \rbrace 有無窮多個交點,因此 x0 x_0 A{x1,x2,,xn} A - \lbrace x_1, x_2, \cdots ,x_n \rbrace 的聚集點。
      • 再由 A{x1,x2,,xn}Fn+1 A - \lbrace x_1, x_2, \cdots, x_n \rbrace \subset F_{n+1} 可知 x0 x_0 也是 Fn+1 F_{n+1} 的聚集點。
      • 又因為 Fn+1 F_{n+1} 為閉集合,所以 x0Fn+1 x_0 \in F_{n+1}
      • 根據數學歸納法, x0Fn,nN x_0 \in F_n, \forall n \in \mathbb{N} .
      • 因為 x0 x_0 屬於每個 Fn F_n ,所以 x0S x_0 \in S 而且 x0 x_0 不屬於每個 Uα(n) U_{\alpha(n)} ,這表示 x0S x_0 \in S x0{Uα(n)nN} x_0 \nsubseteq \cup \lbrace U_{\alpha(n)} | n \in \mathbb{N} \rbrace 與假設矛盾。(QED).
  • 在此定理中,使用了Bolzano-Weierstrass定理證明了Heine-Borel定理。此外,利用 K=1 K=1 的Heine-Borel定理可以證明區間套定理,可見Heine-Borel定理與實數系的完備性等價。

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