緊緻集(Compact set)
緊緻集是近代分析數學中最重要的概念之一。
在微積分的課程中,我們已知定理「定義域是 中有限閉區間的連續函數必是有界函數」,而能夠有如此好的結果,必是有其特殊性質。首先我們先觀察其中部份現象。
- 令 為一連續函數, 為一區間。當要討論 是否有為界函數時,必須在區間 中的每個點附近討論。
- ,若 在 連續,則 。
- Let 。
- 上式表示 ,必可找到 的開鄰域 使得 在 上有界。
- 此種表示法表示的意義是原始問題為「 在整個定義域 是否有界」?,這樣的全域問題,可以在每個點 的鄰域 上找到局部的解。
- 即由集合 引出一集合族 ,且此集合族滿足 ,此種現象稱為覆蓋(covering)。
覆蓋(Covering)
- 定義:覆蓋
- 令 ,若由 的子集所形成集合族 的聯集包含集合 即
- 則稱集合族 為集合 的一個覆蓋。
- 定義:子覆蓋(subcovering)
- 若集合族 是集合 的一個覆蓋,而
- 且 也是集合 的覆蓋,則稱其為 的一個子覆蓋。
- 定義:開覆蓋(open convering)
- 若集合族 是集合 的一個覆蓋,且其中每個 都是 的開集合,則 稱為集合 的一個開覆蓋。
- E.g. 是實數的一個開覆蓋。
- E.g. 是實數的一個可數子覆蓋,且沒有有限的子覆蓋。
- Corollary: 有理點為中心、有理數為半徑的開球
- 令 為可數個半徑與圓心均為有理數 維球所形成的集合族。
- 為非空開集合且。
- 則存在至少一個在 中的球包含 且包含於 ,即 for some .
- Proof:
- 因為 可視為有理數的集合(球心與半徑均為有理數),且可數集合的聯集仍為可數,因此 為可數集合。
- ,且 為開集合, .
- 因此在 中必定存在非常靠近 的點 ,且 .
- 因為 ,因此 .
- 可得 .
- 令 ,則 , 但 (QED).
- Theorem:Lindelof 覆蓋定理
- , 的每個開覆蓋都有一個可數的子覆蓋。
- Proof:
- 令 是集合 的開覆蓋。
- 即 ,我們將證明其有一個可數的子覆蓋。
- 因為以有理點為中心,半徑為有理數的所有開球構成一可數族,記為 。
- 令 ,則 為可數集合。
- .
- 根據前一個引理, ,而依 的定義可知 .
- 因此 。
- ,所以可選出 .
- 因為 為可數集,所以 是 的可數子集。
- 而且由 可得 。
- 即 是 的開覆蓋 的一個可數子覆蓋。(QED).
由此定理可知 中的每個子集之每個開覆蓋均有可數的子覆蓋,但是可數不一定為有限,以下定理給出了那些子集的每個開覆蓋不存在有限的子覆蓋。
- 定理 :Heine-Borel定理
- 為有界的閉集合,則 的每個開覆蓋都有一個有限子覆蓋。
- Note: 此定理與實數系的完備性等價。
- Proof:
- 令 為開覆蓋,依Lindelof定理必存在可數子覆蓋 。
- 我們要證明 ,其為 的一個有限可數子覆蓋。
- (反證法):假設滿足上述條件的正整數 不存在,即 .
- 令 , 則定義 為 中的一個非空有界閉集合。
- 且 為遞減序列,即 .
- 我們將證明全體 的交集不是空集合,即 .
- 令,且 .
- 因為 為有界集合 的子集合,所以 為有界集合。
- case 1: 若 為有限集。
- 存在 .
- 因為 , 所以 ,即 .
- 即 .
- case 2: 若 為無限集。
- 依Bolzano-Weierstrass定理, 有一個聚集點 。
- 且 為閉集合,所以 .
- 因為 , 的每個鄰域 都與 有無窮多個交點,所以 有無窮多個交點,因此 是 的聚集點。
- 再由 可知 也是 的聚集點。
- 又因為 為閉集合,所以 。
- 根據數學歸納法, .
- 因為 屬於每個 ,所以 而且 不屬於每個 ,這表示 且 與假設矛盾。(QED).
在此定理中,使用了Bolzano-Weierstrass定理證明了Heine-Borel定理。此外,利用 的Heine-Borel定理可以證明區間套定理,可見Heine-Borel定理與實數系的完備性等價。