向量空間(Vector space)

• 給定field $F$，$F$上的向量空間$V$是一個集合，以及兩種運算方式：向量加法、純量乘法構成。

  • $V$: 該空間中所有向量的集合。
  • $F$: 作用於向量上之係數所形成之field。

• 組成 vector space的元素，並不一定要是我們理解的向量 (vector)。不過它的元素間 需要有如向量一樣的運算性質。

• Let $a, b, c \in F$, $x, y, z \in V$，一個定義在Field $F$ 、向量加法及純量乘法之上的向量空間$V$需滿足以下性質：

  • (向量加法封閉性) $x + y \in V$.
  • (存在向量加法單位元素) $0 \in V \ni \ x+0 = x$.
  • (向量加法反元素) $\forall x \in V\ \exists y \in V \ni x+y=0$.
  • (向量加法交換性) $x+y = y+x$.
  • (向量加法結合性) $x+(y+z) = (x+y)+z$.
  • (純量乘法封閉性) $\forall a \in F$, $ax \in V$.
  • (存在純量乘法單位元素) $\forall x \in V$ $1x=x$.
  • (純量乘法結合性) $(ab)x = a(bx)$.
  • (純量乘法向量分配律) $a(x+y) = ax + ay$.
  • (純量乘法純量分配律) $(a+b)x = ax+bx$.

• 有了以上個性質, 我們就能對一個 vector space 中的元素像處理數字一樣來作運算. 注意這些性質缺一不可, 另一方面它們又足以讓我們推導出許多其他的性質。

• 為什麼沒有純量乘法反元素?

  • 加法反元素之結構為，一個向量，加上反元素(向量)之後，變成加法單位元素$0$向量。對應至純量乘法，我們期待純量乘法反元素之結構為：一個係數，與係數積反元素做運算後，變成係數積單位元素 1。 然而這並沒有意義，因為這樣的結構已經包含在$F$中了，也就是說，定義向量空間時，其實已同時為係數的集合內定了一個結構，因此係數本身即具有加法與乘法，及其他 Field 之性質，然而這與整個向量空間的關係不大，我們只需要保證這些係數在與向量們作用時不會出問題就好。

Subspace

• 若 $V$ 是一個 over $F$ 的 vector space，$U$ 是$V$的一個非空子集 (nonempty subset)， 且在 原先$V$，$F$的運算之下，$U$是一個 over $F$的vector space，則稱$U$是$V$的一個subspace。

• 可用以下方式檢驗$U$是否為subspace，而不必檢驗vector space所有性質。

  • $0 \in U$
  • $\forall a,b \in F$, $x,y \in V$ $\Rightarrow$$ax+by \in U$.