向量空間(Vector space)
給定field ,上的向量空間是一個集合,以及兩種運算方式:向量加法、純量乘法構成。
- : 該空間中所有向量的集合。
- : 作用於向量上之係數所形成之field。
組成 vector space的元素,並不一定要是我們理解的向量 (vector)。不過它的元素間 需要有如向量一樣的運算性質。
Let , ,一個定義在Field 、向量加法及純量乘法之上的向量空間需滿足以下性質:
- (向量加法封閉性) .
- (存在向量加法單位元素) .
- (向量加法反元素) .
- (向量加法交換性) .
- (向量加法結合性) .
- (純量乘法封閉性) , .
- (存在純量乘法單位元素) .
- (純量乘法結合性) .
- (純量乘法向量分配律) .
- (純量乘法純量分配律) .
有了以上個性質, 我們就能對一個 vector space 中的元素像處理數字一樣來作運算. 注意這些性質缺一不可, 另一方面它們又足以讓我們推導出許多其他的性質。
為什麼沒有純量乘法反元素?
- 加法反元素之結構為,一個向量,加上反元素(向量)之後,變成加法單位元素向量。對應至純量乘法,我們期待純量乘法反元素之結構為:一個係數,與係數積反元素做運算後,變成係數積單位元素 1。 然而這並沒有意義,因為這樣的結構已經包含在中了,也就是說,定義向量空間時,其實已同時為係數的集合內定了一個結構,因此係數本身即具有加法與乘法,及其他 Field 之性質,然而這與整個向量空間的關係不大,我們只需要保證這些係數在與向量們作用時不會出問題就好。
Subspace
若 是一個 over 的 vector space, 是的一個非空子集 (nonempty subset), 且在 原先,的運算之下,是一個 over 的vector space,則稱是的一個subspace。
可用以下方式檢驗是否為subspace,而不必檢驗vector space所有性質。
- , .