向量空間(Vector space)

  • 給定field FFFF上的向量空間VV是一個集合,以及兩種運算方式:向量加法、純量乘法構成。

    • VV: 該空間中所有向量的集合。
    • FF: 作用於向量上之係數所形成之field。
  • 組成 vector space的元素,並不一定要是我們理解的向量 (vector)。不過它的元素間 需要有如向量一樣的運算性質。

  • Let a,b,cFa, b, c \in F, x,y,zVx, y, z \in V,一個定義在Field FF 、向量加法及純量乘法之上的向量空間VV需滿足以下性質:

    • (向量加法封閉性) x+yVx + y \in V.
    • (存在向量加法單位元素) 0V x+0=x 0 \in V \ni \ x+0 = x.
    • (向量加法反元素) xV yVx+y=0\forall x \in V\ \exists y \in V \ni x+y=0.
    • (向量加法交換性) x+y=y+xx+y = y+x.
    • (向量加法結合性) x+(y+z)=(x+y)+zx+(y+z) = (x+y)+z.
    • (純量乘法封閉性) aF\forall a \in F, axVax \in V.
    • (存在純量乘法單位元素) xV\forall x \in V 1x=x1x=x.
    • (純量乘法結合性) (ab)x=a(bx)(ab)x = a(bx).
    • (純量乘法向量分配律) a(x+y)=ax+aya(x+y) = ax + ay.
    • (純量乘法純量分配律) (a+b)x=ax+bx(a+b)x = ax+bx.
  • 有了以上個性質, 我們就能對一個 vector space 中的元素像處理數字一樣來作運算. 注意這些性質缺一不可, 另一方面它們又足以讓我們推導出許多其他的性質。

  • 為什麼沒有純量乘法反元素?

    • 加法反元素之結構為,一個向量,加上反元素(向量)之後,變成加法單位元素00向量。對應至純量乘法,我們期待純量乘法反元素之結構為:一個係數,與係數積反元素做運算後,變成係數積單位元素 1。 然而這並沒有意義,因為這樣的結構已經包含在FF中了,也就是說,定義向量空間時,其實已同時為係數的集合內定了一個結構,因此係數本身即具有加法與乘法,及其他 Field 之性質,然而這與整個向量空間的關係不大,我們只需要保證這些係數在與向量們作用時不會出問題就好。

Subspace

  • VV 是一個 over FF 的 vector space,UUVV的一個非空子集 (nonempty subset), 且在 原先VVFF 的運算之下,UU是一個 over FF的vector space,則稱UUVV的一個subspace。

  • 可用以下方式檢驗UU是否為subspace,而不必檢驗vector space所有性質。

    • 0U0 \in U
    • a,bF\forall a,b \in F, x,yVx,y \in V \Rightarrowax+byUax+by \in U.

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