Comparison theorem

  • Theorem: 若函數α:[a,b]R\alpha: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}為遞增函數,函數f,gRS(α)[a,b]f,g \in \mathbf{RS}(\alpha)[a,b],且f(x)g(x), x[a,b]f(x) \leq g(x), \ \forall x \in [a,b], 則 abf(x)dα(x)abg(x)dα(x)\int_a^b f(x) d \alpha(x) \leq \int_a^b g(x) d \alpha(x) .
    • Proof:
    • α\because \alpha 為遞增函數,所以αkαk1>0\alpha_{k} - \alpha_{k-1} > 0.
    • PP[a,b], S(P,f,α)=k=1nf(tk)Δαkk=1ng(tk)Δαk=S(P,g,α), tk[xk1,xk]\therefore \forall P \in \mathbb{P}[a,b],\ S(P,f,\alpha) = \sum_{k=1}^n f(t_k) \Delta \alpha_k \leq \sum_{k=1}^n g(t_k) \Delta \alpha_k = S(P, g, \alpha), \ t_k \in [x_{k-1}, x_k] . (QED)
  • Theorem: 若函數α:[a,b]R\alpha: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}為遞增函數,函數fRS(α)[a,b]f \in \mathbf{RS}(\alpha)[a,b] ,則fRS(α)[a,b]|f| \in \mathbf{RS}(\alpha)[a,b] (反之不成立)。且可得不等式 abf(x)dα(x)abf(x)dα(x) \left\vert \int_a^b f(x) d \alpha(x) \right\vert \leq \int_a^b \vert f(x) \vert d \alpha(x) .
    • 上式以簡單的方式說明為函數因為有正、負數,所以先加總後取絕對值,必定會小於等於先取函數之絕對值後再加總,等號成立於函數之值域全部為正數。
    • 此定理以第一個定理來解釋即為,g=f,ffg = |f|, \because f \leq |f| ,但條件不同。
    • 由Proof的結論[1]可知此定理反之不成立,即fRS(α)[a,b] |f| \in \mathbf{RS}(\alpha)[a,b]不能保證 fRS(α)[a,b]f \in \mathbf{RS}(\alpha)[a,b].

    • Proof:

    • Mk(f)mk(f)=sup{f(x)f(y)x,y[xk1,xk]} M_k(f) - m_k(f) = \sup \lbrace f(x) - f(y) | x, y \in [x_{k-1}, x_k] \rbrace .
    • f(x)f(y)f(x)f(y) \because \vert \vert f(x) \vert - \vert f(y) \vert \vert \leq \vert f(x) - f(y) \vert .
    • Mk(f)mk(f)Mk(f)mk(f) \therefore M_k(|f|) - m_k(|f|) \leq M_k(f) - m_k(f) .
    • U(P,f,α)L(P,f,α)U(P,f,α)L(P,f,α), PP[a,b] \therefore U(P, |f|, \alpha) - L(P, |f|, \alpha) \leq U(P,f,\alpha) - L(P, f, \alpha),\ \forall P \in \mathbb{P}[a,b] [1].
    • By Riemann condition, fRS(α)[a,b]|f| \in \mathbf{RS}(\alpha)[a,b] (QED).
  • E.g. fdα\int |f| d \alpha存在,但fdα\int f d \alpha不存在的函數,這一類有界但不可積分大多是人造的函數,真實的函數多是Riemann integrable.

    • f(x)={1,xQ1,xQ f(x) = \left\lbrace \begin{array}{ll} 1, & x \in \mathbf{Q} \\ -1, & x \notin \mathbb{Q} \end{array} \right.
    • I(f,α)=1, I(f,α)=1 \because \overline{I}(f,\alpha) = 1, \ \underline{I}(f, \alpha) = -1, 所以不可積分,但
    • I(f,α)=1, I(f,α)=1 \because \overline{I}(|f|,\alpha) = 1, \ \underline{I}(|f|, \alpha) = 1,取絕對值可積分。
  • Theorem: 若函數α:[a,b]R\alpha: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}為遞增函數,且函數fRS(α)[a,b]f \in \mathbf{RS}(\alpha)[a,b] , 則函數平方值f2RS(α)[a,b]f^2 \in \mathbf{RS}(\alpha)[a,b]
    • Proof:
    • Mk(f2)=[Mk(f)]2, mk(f2)=[mk(f)]2M_k(f^2) = [M_k(|f|)]^2, \ m_k(f^2) = [m_k(|f|)]^2 .
    • Mk(f2)mk(f2)=[Mk(f)+mk(f)][Mk(f)mk(f)]2M[Mk(f)mk(f)].\begin{array}{rcl} M_k(f^2) - m_k(f^2) & = & [M_k(|f|) + m_k(|f|)][M_k(|f|) - m_k(|f|)] \\ & \leq & 2M[M_k(|f|) - m_k(|f|)] \end{array}.
    • where M=sup{f(x)x[a,b]}.M = \sup \{ |f(x)| | \forall x \in [a,b] \}.
    • By Reimann condition (QED).
  • Theorem: 若函數α:[a,b]R\alpha: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}為遞增函數,且函數f, gRS(α)[a,b]f,\ g \in \mathbf{RS}(\alpha)[a,b],則兩函數的乘積fgRS(α)[a,b]f \cdot g \in \mathbf{RS}(\alpha)[a,b]
    • Proof: 根據上一個theorem取2f(x)g(x)=[f(x)+g(x)]2[f(x)]2[g(x)]2 2f(x)g(x) = [f(x)+g(x)]^2 - [f(x)]^2 - [g(x)]^2 (QED).

有界變分的積分函數

  • 在有界變分章節中,已經證明了任意有界變分的函數α\alpha 必定等於兩個(非唯一決定)遞增函數α1, α2\alpha_1,\ \alpha_2的差值。

  • 若函數ff在閉區間[a,b][a,b]中相對於函數α1, α2\alpha_1,\ \alpha_2均可積分,依積分的線性性質,函數ff必定相對於函數α\alpha可積分,但反之不一定成立,但若α1\alpha_1為全變差時,且α2=α1α\alpha_2 = \alpha_1 - \alpha時,必定可積分。

  • Theorem: 函數α:[a,b]R\alpha:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}為有界變分,V(x)V(x)為函數α\alpha在區間[a,x], a<xb[a,x],\ a < x \leq b的全變差,V(a)=0V(a) = 0

    • f:[a,b]Rf: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}有界,若ff[a,b][a,b] 相對於α\alpha可積分,則ff在相同區間對全變差函數VV也可積分。
  • 此定理相當重要,因為原本要求積分函數必須為遞增函數,現在只需為有界變分之函數即可。

  • Theorem:函數α:[a,b]R\alpha:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}為有界變分,假設函數ff在區間[a,b][a,b]相對函數α\alpha可積分,則函數ff[c,d][a,b][c,d] \subseteq [a,b]均可積分。

  • Theorem: 函數f, gf,\ g在區間[a,b][a,b]相對於函數α\alpha均可積分,若α:[a,b]R\alpha: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}為遞增函數,且令

    • F(x)=axf(t)dα(t). F(x) = \int_a^x f(t) d \alpha(t).,且 G(x)=axg(t)dα(t), x[a,b] G(x) = \int_a^x g(t) d \alpha(t),\ x \in [a,b],則
    • 函數ff相對於函數GG在區間[a,b][a,b]可積分,且函數gg相對於函數FF在區間[a,b][a,b]可積分,且
    • abf(x)g(x)dα(x)=abf(x)dG(x)=abg(x)dF(x) \int_a^b f(x) g(x) d\alpha(x) = \int_a^b f(x) dG(x) = \int_a^b g(x) dF(x).

Riemann-Stieltjes積分存在之充分(sufficient)條件

  • 前述之討論,均先假設函數可積分,此章節將討論在何種條件下函數才可積分(即積分不存在時,這些條件必定不成立)。

  • Theorem: 函數ff在區間[a,b][a,b]連續,且函數α\alpha在此區間有界變分,則函數ff相對於函數α\alpha在此區間可積分(fR(α)[a,b]f \in \mathbf{R}(\alpha)[a,b] )。

    • Proof:
    • 因為遞增函數必為有界變分,且任意函數必可表示為兩個遞增函數的差值,因此考慮遞增函數即可。
    • 當函數α \alpha 遞增時,可得α(a)<α(b)\alpha(a) < \alpha(b).
    • fC[a,b]f \in C[a,b] 隱含了ff為uniform continuity(??),即給定ϵ>0,δ>0\epsilon > 0, \exists \delta > 0 (dependending only on ϵ\epsilon) xy<ϵ, f(x)f(y)<ϵ/A, A=2[α(b)α(a)]\ni | x-y| < \epsilon, \ |f(x) - f(y)| < \epsilon/A, \ A=2[\alpha(b) - \alpha(a)].
    • 若分割PϵP_{\epsilon}滿足Pϵ,PPϵ\Vert P_{\epsilon} \Vert, \forall P \supseteq P_{\epsilon},則可得Mk(f)mk(f)ϵ/AM_k(f) - m_k(f) \leq \epsilon/A.
    • Mk(f)mk(f)=sup{f(x)f(y)x,y[xk1,xk]}\because M_k(f) - m_k(f) = \sup \{f(x) - f(y) \vert x,y \in [x_{k-1}, x_k] \}.
    • 同乘Δαk\Delta \alpha_k且相加後可得:
    • U(P,f,α)L(P,f,α)ϵ/αk=1nΔαk=ϵ/2<ϵU(P,f,\alpha) - L(P,f,\alpha) \leq \epsilon/\alpha \sum_{k=1}^n \Delta \alpha_k = \epsilon/2 < \epsilon.
    • 滿足Riemann condition, 即fR(α)[a,b]f \in \mathbf{R}(\alpha)[a,b].(QED)
    • Theorem: 當 α(x)=x\alpha(x) = x 時,以下均為abf(x)dx\int_a^b f(x) dx存在的充分條件:
    • 函數ff在閉區間[a,b][a,b]連續
    • 函數ff在閉區間有界變分

Riemann-Stieltjes積分存在之必要(necessary)條件

  • 當函數α \alpha 在閉區間[a,b][a,b]有界變分時,只需ff為連續函數(充分條件)則積分abfdα\int_a^b f d \alpha存在。

  • 前述當α\alpha為階梯函數時,函數ff只須不要與α\alpha在同一點同時不連續,則積分存在,即ff不需連續也可積分。

  • Theorem: 當函數α:[a,b]R \alpha: [a,b] \rightarrow \mathbb{R} 為遞增函數,且a<c<b a < c < b。假設函數 f,αf, \alphax=cx=c 的右側同時不連續,即ϵ>0δ>0,x,y(c,c+δ),f(x)f(c)ϵ, and α(y)α(c)ϵ\exists \epsilon > 0 \ni \forall \delta > 0, \exists x, y \in (c, c + \delta), |f(x) - f(c)| \geq \epsilon, \text{ and } | \alpha(y) - \alpha(c)| \geq \epsilon .
    • 則積分 abf(x)dα(x) \vert \int_a^b f(x) d\alpha(x) 不存在。
    • 若兩個函數同時在點cc左側不連續時,則積分不存在。
    • 此定理與前述兩個函數不可在同一點的左側或右側同時不連續一致。
    • Proof:
    • 令分割PP[a,b]P \in \mathbb{P}[a,b]包含點cc,且滿足:
    • U(P,f,α)L(P,f,α)=k=1n[Mk(f)mk(f)]ΔαkU(P,f,\alpha) - L(P,f,\alpha) = \sum_{k=1}^n [M_k(f) - m_k(f)]\Delta \alpha_k
    • 假設分割PP的第kk個子區間以點cc為左端點,則可得
    • U(P,f,α)L(P,f,α)[Mk(f)mk(f)][α(xk)α(c)]0 U(P,f,\alpha) - L(P,f,\alpha) \geq [M_k(f) - m_k(f)][\alpha(x_k) - \alpha(c)] \geq 0 .
    • 因為點cc在右側不連續,因此必定可得xix_i使得α(xi)α(c)ϵ\alpha(x_i) - \alpha(c) \geq \epsilon
    • 同理依假設可得Mk(f)mk(f)ϵM_k(f) - m_k(f) \geq \epsilon.
    • U(P,f,α)L(P,f,α)ϵ2\therefore U(P,f,\alpha) - L(P,f,\alpha) \geq \epsilon^2
    • 所以無法滿足Riemann condition。(QED)

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