Comparison theorem
- Theorem: 若函數為遞增函數,函數,且, 則 .
- Proof:
- 為遞增函數,所以.
- . (QED)
- Theorem: 若函數為遞增函數,函數,則 (反之不成立)。且可得不等式 .
- 上式以簡單的方式說明為函數因為有正、負數,所以先加總後取絕對值,必定會小於等於先取函數之絕對值後再加總,等號成立於函數之值域全部為正數。
- 此定理以第一個定理來解釋即為,,但條件不同。
由Proof的結論[1]可知此定理反之不成立,即不能保證 .
Proof:
- .
- .
- .
- [1].
- By Riemann condition, (QED).
E.g. 存在,但不存在的函數,這一類有界但不可積分大多是人造的函數,真實的函數多是Riemann integrable.
- , 所以不可積分,但
- ,取絕對值可積分。
- Theorem: 若函數為遞增函數,且函數, 則函數平方值。
- Proof:
- .
- where
- By Reimann condition (QED).
- Theorem: 若函數為遞增函數,且函數,則兩函數的乘積。
- Proof: 根據上一個theorem取 (QED).
有界變分的積分函數
在有界變分章節中,已經證明了任意有界變分的函數 必定等於兩個(非唯一決定)遞增函數的差值。
若函數在閉區間中相對於函數均可積分,依積分的線性性質,函數必定相對於函數可積分,但反之不一定成立,但若為全變差時,且時,必定可積分。
Theorem: 函數為有界變分,為函數在區間的全變差,。
- 有界,若在 相對於可積分,則在相同區間對全變差函數也可積分。
此定理相當重要,因為原本要求積分函數必須為遞增函數,現在只需為有界變分之函數即可。
Theorem:函數為有界變分,假設函數在區間相對函數可積分,則函數在均可積分。
Theorem: 函數在區間相對於函數均可積分,若為遞增函數,且令
- ,且 ,則
- 函數相對於函數在區間可積分,且函數相對於函數在區間可積分,且
- .
Riemann-Stieltjes積分存在之充分(sufficient)條件
前述之討論,均先假設函數可積分,此章節將討論在何種條件下函數才可積分(即積分不存在時,這些條件必定不成立)。
- Theorem: 函數在區間連續,且函數在此區間有界變分,則函數相對於函數在此區間可積分()。
- Proof:
- 因為遞增函數必為有界變分,且任意函數必可表示為兩個遞增函數的差值,因此考慮遞增函數即可。
- 當函數 遞增時,可得.
- 而 隱含了為uniform continuity(??),即給定 (dependending only on ) .
- 若分割滿足,則可得.
- .
- 同乘且相加後可得:
- .
- 滿足Riemann condition, 即.(QED)
- Theorem: 當 時,以下均為存在的充分條件:
- 函數在閉區間連續
- 函數在閉區間有界變分
Riemann-Stieltjes積分存在之必要(necessary)條件
當函數在閉區間有界變分時,只需為連續函數(充分條件)則積分存在。
前述當為階梯函數時,函數只須不要與在同一點同時不連續,則積分存在,即不需連續也可積分。
- Theorem: 當函數為遞增函數,且。假設函數 在 的右側同時不連續,即.
- 則積分 不存在。
- 若兩個函數同時在點左側不連續時,則積分不存在。
- 此定理與前述兩個函數不可在同一點的左側或右側同時不連續一致。
- Proof:
- 令分割包含點,且滿足:
- 。
- 假設分割的第個子區間以點為左端點,則可得
- .
- 因為點在右側不連續,因此必定可得使得。
- 同理依假設可得.
- 。
- 所以無法滿足Riemann condition。(QED)