Comparison theorem

• Theorem: 若函數$\alpha: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$為遞增函數，函數$f,g \in \mathbf{RS}(\alpha)[a,b]$，且$f(x) \leq g(x), \ \forall x \in [a,b]$, 則 $\int_a^b f(x) d \alpha(x) \leq \int_a^b g(x) d \alpha(x)$.
  • Proof:
  • $\because \alpha$ 為遞增函數，所以$\alpha_{k} - \alpha_{k-1} > 0$.
  • $\therefore \forall P \in \mathbb{P}[a,b],\ S(P,f,\alpha) = \sum_{k=1}^n f(t_k) \Delta \alpha_k \leq \sum_{k=1}^n g(t_k) \Delta \alpha_k = S(P, g, \alpha), \ t_k \in [x_{k-1}, x_k]$. (QED)

• Theorem: 若函數$\alpha: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$為遞增函數，函數$f \in \mathbf{RS}(\alpha)[a,b]$，則$|f| \in \mathbf{RS}(\alpha)[a,b]$ (反之不成立)。且可得不等式 $\left\vert \int_a^b f(x) d \alpha(x) \right\vert \leq \int_a^b \vert f(x) \vert d \alpha(x)$.
  • 上式以簡單的方式說明為函數因為有正、負數，所以先加總後取絕對值，必定會小於等於先取函數之絕對值後再加總，等號成立於函數之值域全部為正數。
  • 此定理以第一個定理來解釋即為，$g = |f|, \because f \leq |f|$，但條件不同。

  • 由Proof的結論[1]可知此定理反之不成立，即$|f| \in \mathbf{RS}(\alpha)[a,b]$不能保證 $f \in \mathbf{RS}(\alpha)[a,b]$.

  • Proof:

  • $M_k(f) - m_k(f) = \sup \lbrace f(x) - f(y) | x, y \in [x_{k-1}, x_k] \rbrace$.
  • $\because \vert \vert f(x) \vert - \vert f(y) \vert \vert \leq \vert f(x) - f(y) \vert$.
  • $\therefore M_k(|f|) - m_k(|f|) \leq M_k(f) - m_k(f)$.
  • $\therefore U(P, |f|, \alpha) - L(P, |f|, \alpha) \leq U(P,f,\alpha) - L(P, f, \alpha),\ \forall P \in \mathbb{P}[a,b]$ [1].
  • By Riemann condition, $|f| \in \mathbf{RS}(\alpha)[a,b]$ (QED).

• E.g. $\int |f| d \alpha$存在，但$\int f d \alpha$不存在的函數，這一類有界但不可積分大多是人造的函數，真實的函數多是Riemann integrable.

  • $f(x) = \left\lbrace \begin{array}{ll} 1, & x \in \mathbf{Q} \\ -1, & x \notin \mathbb{Q} \end{array} \right.$
  • $\because \overline{I}(f,\alpha) = 1, \ \underline{I}(f, \alpha) = -1$, 所以不可積分，但
  • $\because \overline{I}(|f|,\alpha) = 1, \ \underline{I}(|f|, \alpha) = 1$，取絕對值可積分。
• Theorem: 若函數$\alpha: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$為遞增函數，且函數$f \in \mathbf{RS}(\alpha)[a,b]$, 則函數平方值$f^2 \in \mathbf{RS}(\alpha)[a,b]$。
  • Proof:
  • $M_k(f^2) = [M_k(|f|)]^2, \ m_k(f^2) = [m_k(|f|)]^2$.
  • $\begin{array}{rcl} M_k(f^2) - m_k(f^2) & = & [M_k(|f|) + m_k(|f|)][M_k(|f|) - m_k(|f|)] \\ & \leq & 2M[M_k(|f|) - m_k(|f|)] \end{array}.$
  • where $M = \sup \{ |f(x)| | \forall x \in [a,b] \}.$
  • By Reimann condition (QED).
• Theorem: 若函數$\alpha: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$為遞增函數，且函數$f,\ g \in \mathbf{RS}(\alpha)[a,b]$，則兩函數的乘積$f \cdot g \in \mathbf{RS}(\alpha)[a,b]$。
  • Proof: 根據上一個theorem取$2f(x)g(x) = [f(x)+g(x)]^2 - [f(x)]^2 - [g(x)]^2$ (QED).

有界變分的積分函數

• 在有界變分章節中，已經證明了任意有界變分的函數$\alpha$ 必定等於兩個(非唯一決定)遞增函數$\alpha_1,\ \alpha_2$的差值。

• 若函數$f$在閉區間$[a,b]$中相對於函數$\alpha_1,\ \alpha_2$均可積分，依積分的線性性質，函數$f$必定相對於函數$\alpha$可積分，但反之不一定成立，但若$\alpha_1$為全變差時，且$\alpha_2 = \alpha_1 - \alpha$時，必定可積分。

• Theorem: 函數$\alpha:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$為有界變分，$V(x)$為函數$\alpha$在區間$[a,x],\ a < x \leq b$的全變差，$V(a) = 0$。

  • $f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$有界，若$f$在$[a,b]$ 相對於$\alpha$可積分，則$f$在相同區間對全變差函數$V$也可積分。

• 此定理相當重要，因為原本要求積分函數必須為遞增函數，現在只需為有界變分之函數即可。

• Theorem:函數$\alpha:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$為有界變分，假設函數$f$在區間$[a,b]$相對函數$\alpha$可積分，則函數$f$在$[c,d] \subseteq [a,b]$均可積分。

• Theorem: 函數$f,\ g$在區間$[a,b]$相對於函數$\alpha$均可積分，若$\alpha: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$為遞增函數，且令

  • $F(x) = \int_a^x f(t) d \alpha(t).$，且 $G(x) = \int_a^x g(t) d \alpha(t),\ x \in [a,b]$，則
  • 函數$f$相對於函數$G$在區間$[a,b]$可積分，且函數$g$相對於函數$F$在區間$[a,b]$可積分，且
  • $\int_a^b f(x) g(x) d\alpha(x) = \int_a^b f(x) dG(x) = \int_a^b g(x) dF(x)$.

Riemann-Stieltjes積分存在之充分(sufficient)條件

• 前述之討論，均先假設函數可積分，此章節將討論在何種條件下函數才可積分(即積分不存在時，這些條件必定不成立)。

• Theorem: 函數$f$在區間$[a,b]$連續，且函數$\alpha$在此區間有界變分，則函數$f$相對於函數$\alpha$在此區間可積分($f \in \mathbf{R}(\alpha)[a,b]$)。
  • Proof:
  • 因為遞增函數必為有界變分，且任意函數必可表示為兩個遞增函數的差值，因此考慮遞增函數即可。
  • 當函數$\alpha$ 遞增時，可得$\alpha(a) < \alpha(b)$.
  • 而$f \in C[a,b]$ 隱含了$f$為uniform continuity(??)，即給定$\epsilon > 0, \exists \delta > 0$ (dependending only on $\epsilon$) $\ni | x-y| < \epsilon, \ |f(x) - f(y)| < \epsilon/A, \ A=2[\alpha(b) - \alpha(a)]$.
  • 若分割$P_{\epsilon}$滿足$\Vert P_{\epsilon} \Vert, \forall P \supseteq P_{\epsilon}$，則可得$M_k(f) - m_k(f) \leq \epsilon/A$.
  • $\because M_k(f) - m_k(f) = \sup \{f(x) - f(y) \vert x,y \in [x_{k-1}, x_k] \}$.
  • 同乘$\Delta \alpha_k$且相加後可得：
  • $U(P,f,\alpha) - L(P,f,\alpha) \leq \epsilon/\alpha \sum_{k=1}^n \Delta \alpha_k = \epsilon/2 < \epsilon$.
  • 滿足Riemann condition, 即$f \in \mathbf{R}(\alpha)[a,b]$.(QED)

• Theorem: 當 $\alpha(x) = x$ 時，以下均為$\int_a^b f(x) dx$存在的充分條件:
  • 函數$f$在閉區間$[a,b]$連續
  • 函數$f$在閉區間有界變分

Riemann-Stieltjes積分存在之必要(necessary)條件

• 當函數$\alpha$在閉區間$[a,b]$有界變分時，只需$f$為連續函數(充分條件)則積分$\int_a^b f d \alpha$存在。

• 前述當$\alpha$為階梯函數時，函數$f$只須不要與$\alpha$在同一點同時不連續，則積分存在，即$f$不需連續也可積分。

• Theorem: 當函數$\alpha: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$為遞增函數，且$a < c < b$。假設函數 $f, \alpha$ 在 $x=c$ 的右側同時不連續，即$\exists \epsilon > 0 \ni \forall \delta > 0, \exists x, y \in (c, c + \delta), |f(x) - f(c)| \geq \epsilon, \text{ and } | \alpha(y) - \alpha(c)| \geq \epsilon$.

  • 則積分 $\vert \int_a^b f(x) d\alpha(x)$不存在。
  • 若兩個函數同時在點$c$左側不連續時，則積分不存在。
  • 此定理與前述兩個函數不可在同一點的左側或右側同時不連續一致。
  • Proof:
  • 令分割$P \in \mathbb{P}[a,b]$包含點$c$，且滿足：
  • $U(P,f,\alpha) - L(P,f,\alpha) = \sum_{k=1}^n [M_k(f) - m_k(f)]\Delta \alpha_k$。
  • 假設分割$P$的第$k$個子區間以點$c$為左端點，則可得
  • $U(P,f,\alpha) - L(P,f,\alpha) \geq [M_k(f) - m_k(f)][\alpha(x_k) - \alpha(c)] \geq 0$.
  • 因為點$c$在右側不連續，因此必定可得$x_i$使得$\alpha(x_i) - \alpha(c) \geq \epsilon$。
  • 同理依假設可得$M_k(f) - m_k(f) \geq \epsilon$.
  • $\therefore U(P,f,\alpha) - L(P,f,\alpha) \geq \epsilon^2$。
  • 所以無法滿足Riemann condition。(QED)