積分函數定義域存在不連續點

• 當積分函數$\alpha$在區間$[a,b]$為常數時，積分$\int_a^b f d\alpha = 0$ 必定存在 (因為在每一個子分割中的$S(P,f,\alpha) =0$)。

• 而當積分函數$\alpha$在區間為常數，但只在某一點為跳躍值(jump)時，積分積分$\int_a^b f d\alpha$不一定存在，且存在時也不一定為0。

• Theorem: 給定 $a < c < b$，令積分函數$\alpha(x) = \left \lbrace \begin{array}{rl} \alpha(a), & a \leq x < c \\ \alpha(b), & c < x \leq b \end{array} \right.$，即 $\alpha$ 在點 $c$ 沒有定義。 令函數$f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$，若$f,\ \alpha$其中至少一個函數於點$c$左側連續且至少一個函數於點$c$右側連續時(左側與右側連續不必為同一函數)，則函數$f$在此區間可積分 (或者說當函數$f, \ g$在點$c$都不連續時，此時積分不存在)，且可得出： $\int_a^b f d \alpha = f(c) [ \alpha(c+) - \alpha(c-)]$ (因為$\alpha( c-) = \alpha(a)$在點$c$的左側都是定值，同理在點$c$的右側都是定值，因此只有在跳躍處才有積分值).

• 

  • Proof:

  • Let $c \in P$，因此函數$\alpha$除了跳躍點$\alpha(c)$外的值均為0，即$S(P, f, \alpha) = f(t_{k-1}) [\alpha(c) - \alpha(c-)] + f(t_k)[\alpha(c+) - \alpha(c)]$, $t_{k-1} \leq c \leq t_k$.

  • $f(c)[\alpha(c+) - \alpha(c-)]$ 為函數$f$在點$c$相對於函數$\alpha$之值，當$t_{k-1}$逼近$t_k$時，$S(P,f, \alpha)$加總應收斂到此值。

  • 令 $\begin{array}{rcl} \Delta & \equiv & S(P,f,\alpha)-\{ f(c)[\alpha(c+) - \alpha(c-)]\} \\ & = &( f(t_{k-1}) -f(c) ) (\alpha(c) - \alpha(c-)) + (f(t_k) - f(c))(\alpha(c+) - \alpha(c)). \end{array}$

  • $\therefore | \Delta | \leq | f(t_{k-1}) -f(c) | |\alpha(c) - \alpha(c-) | + |f(t_k) - f(c)| |\alpha(c+) - \alpha(c)|$.

  • 若函數$f$在點$c$連續時，$\forall \epsilon > 0 \ \exists \delta >0 \ni \Vert P \Vert < \delta \Rightarrow | f(t_{k-1}) - f(c)) | < \epsilon$ and $| f(t_k) - f(c) | < \epsilon$.

  • 所以可得不等式 $| \Delta| \leq \epsilon | \alpha(c) - \alpha(c-) | + \epsilon | \alpha(c+) - \alpha(c) |$，但此不等式與函數$f$是否在點$c$是否連續無關。

  • Case 1 ($\alpha$在點$c$連續且函數$f$在點$c$兩側都不連續): 此時$\alpha(c) = \alpha(c-)$ 且 $\alpha(c) = \alpha(c+)$時，可得到$\Delta = 0$。

  • Case 2 ($\alpha$在點$c$右側連續且函數$f$在點$c$左側連續): 必須滿足$\alpha(c)=\alpha(c+)$，即$\alpha$在點$c$右側連續才可得出$| \Delta| \leq \epsilon | \alpha(c) - \alpha(c-)|$.

  • Case 3 ($\alpha$在點$c$左側連續且函數$f$在點$c$右側連續):則必須滿足$\alpha(c)=\alpha(c-)$，即$\alpha$在點$c$左側連續才可得出$| \Delta| \leq \epsilon | \alpha(c+) - \alpha(c)|$.

  • 由以上三個case可知除了函數在兩側同時都不連續時才會無法積分(QED).

• E.g. $\alpha(x) = \left\lbrace \begin{array}{ll} 0, & x \neq 0, \\ -1, & x=0. \end{array} \right.$, $f(x) = 1, -1 \leq x \leq 1$.

  • 因為在$x=0$時，函數$f(0)=1$，所以$\int_{-1}^1 f d \alpha = 0$.

• E.g. $\alpha(x)$定義同上，但函數$f(x)=1, \forall x \neq 0$，因為$f, \alpha$在$x=0$時均無定義，所以$\int_{-1}^1 f d \alpha$不存在。

  • $\because S(P,f,\alpha) = f(t_k)(\alpha (x_k) - \alpha(0)) + f(t_{k-1})(\alpha(0) - \alpha(x_{k-2})) = f(t_k) - f(t_{k-1})$, $x_{k-2} \leq t_{k-1} \leq 0 \leq t_k \leq x_k$，上述之值依$t_k, t_{k-1}$之值，可能為0, 1, 或-1(無法唯一決定)，因此積分不存在。

以有限和表示Riemann-Stieltjes積分

階梯函數(Step function)

• 定義：函數$\alpha: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$被稱為階梯函數：存在一分割 $a = x_1 < x_2 < \cdots < x_n = b$ 使得函數$\alpha$在每一個開區間$(x_{k-1}, x_k), \ k=1,2,\cdots,n$均為常數值$c_k$。

  • $\alpha(x_k+) - \alpha(x_k-)$稱為在點$x_k, \ 1 < k < n$的跳躍(jump)，而在端點的跳躍為$\alpha(x_1 + ) - \alpha(x_1) \text{ and } \alpha(x_n ) - \alpha(x_n -)$.

  • 

• E.g. 最簡單的階梯函數是greatest-integer function，即$f(x) = [x], \ [x] \leq x < [x]+1$.

• Theorem:　令$\alpha: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$為階梯函數，且在$x_k$之跳躍值為$\alpha_k$。函數$f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$在$x_1,x_2,\cdots, x_n$每一點不會與函數$\alpha$同時在左側或右側不連續，則$\int_a^b f d\alpha$存在且 $\int_a^b f(x) d \alpha(x) = \sum_{k=1}^n f(x_k) \alpha_k$
  .
  • $\because \forall c \in (a,b),\ \int_a^c f d \alpha + \int_c^b f d \alpha = \int_a^b f d\alpha$ [1].
  • 而且在每一個跳躍點，只要$f, \alpha$不要同時不連續即可積分 [2]。
  • 由[1][2]可得 $\int_a^b f(x) d \alpha(x) = \sum_{k=1}^n f(x_k) \alpha_k$ (QED).

單調遞增的積分函數

• 由定義可得出 $m_k(f) \leq M_k(f)$，若函數$\alpha$在區間$[a,b]$為遞增函數，則$\Delta \alpha_k \geq 0$，因此可得出
  • $\forall t_k \in [x_{k-1}, x_k],\ m_k(f) \leq f(t_k) \leq M_k(f)$.
  • 所以在$\alpha$為遞增函數時，可得$L(P, f, \alpha) \leq S(P, f, \alpha) \leq U(P, f, \alpha)$.

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• Theorem: 若函數$\alpha: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$為遞增函數，若$P \subseteq P^{'}$為更細的分割，則
  • $U(P^{'}, f, \alpha) \leq U(P, f, \alpha)$ (切細時，上總和之值會變小)
  • $L(P^{'}, f, \alpha) \geq L(P, f, \alpha)$ (切細時，下總和之值會變大)
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  Theorem: 若函數$\alpha: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$為遞增函數，若$P \subseteq P^{'}$為更細的分割，則
  • $U(P^{'}, f, \alpha) \leq U(P, f, \alpha)$ (分割切細時，上總和之值會變小)
  • $L(P^{'}, f, \alpha) \geq L(P, f, \alpha)$ (分割切細時，下總和之值會變大)
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  • 對於任意兩種分割$P_1, \ P_2$，可得$L(P_1, f, \alpha) \leq U(P_2, f, \alpha)$

• Proof (1)(2):

  • 令$P \subseteq P^{'} \text{ and } P \cap \{ c \} = P^{'}, \ c \in [x_{i-1}, x_i]$, then
  • $U(P^{'},f ,\alpha) = \sum_{k=1, \ k\neq i}^n M_k(f) \Delta \alpha_k + M^{'}[\alpha(c) - \alpha(x_{i-1})] + M^{''}[\alpha(x_i) - \alpha(c)]$,
  • $M = \sup \{ f(x) | x \in [x_{i-1}, x_i] \},\ M^{'} = \sup \{ f(x) | x \in [x_{i-1}, c] \}, \ M^{''} = \sup \{f(x)| x \in [c, x_i] \}$.
  • $\because M^{'} \leq M_i(f) \text{ and } M^{''} \leq M_i(f) \Rightarrow U(P^{'}, f, \alpha) \leq U(P, f, \alpha)$ (QED).

• Proof (3):

  • 令$P = P_1 \cup P_2$, 可得 $L(P_1,f,\alpha) \leq L(P, f, \alpha) \leq U(P,f,\alpha) \leq U(P_2,f,\alpha)$. (QED).

Darboux上積分與下積分

• 定義：函數$\alpha: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$為遞增函數，則

  • Upper Stieltjes integral: $\overline{I}(f, \alpha) \equiv \overline{\int}_a^b f d\alpha = \inf \lbrace U(P,f,\alpha) \vert P \in \mathbb{P}[a,b] \rbrace$.
  • Lower Stieltjes integral: $\underline{I}(f, \alpha) \equiv \underline{\int}_a^bf d\alpha = \sup \lbrace L(P,f,\alpha) \vert P \in \mathbb{P}[a,b] \rbrace$.
• Theorem: 若積分函數$\alpha: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$為遞增函數，則下積分之值必定小於等於上積分之值。$\Leftrightarrow \underline{I}(f, \alpha) \leq \overline{I}(f, \alpha)$.
  • proof:
  • Given $\epsilon > 0, \exists P_1 \in \mathbb{P}[a,b] \ni U(P_1, f, \alpha) < \overline{I}(f, \alpha) + \epsilon$.
  • 因為$\overline{I}(f, \alpha)$為$L(P,f,\alpha)$的上界，所以$\underline{I}(f, \alpha) \leq \overline{I}(f, \alpha)$ (QED).

• 任意函數均可拆成兩個遞增函數的差值，而積分滿足線性相加性質。

• E.g. $\alpha(x) = x$ and $f(x) = \left\lbrace \begin{array}{ll} 1, & x \text{ is rational,} \\ 0, & x \text{ is irrational} \end{array} \right.$, then $\underline{I}(f, \alpha) < \overline{I}(f, \alpha)$.

  • $\because \forall P \in \mathbb{P}[0,1], \ M_k(f) =1 \text{ and } m_k(f) = 0$ $\therefore U(P,f)=1, \ L(P,f) = 0$.

上、下積分的線性性質

• $a < c < b, \overline{\int}_a^b f d \alpha = \overline{\int}_a^c f d \alpha + \overline{\int}_c^b f d \alpha$.

• 但下式只滿足不等式

  • $\overline{\int}_a^b (f+g) d \alpha \leq \overline{\int}_a^b f d \alpha + \overline{\int}_a^b g d \alpha$.
  • $\underline{\int}_a^b (f+g) d \alpha \geq \underline{\int}_a^b f d \alpha + \underline{\int}_a^b g d \alpha$.

Riemann條件

• 由於上積分之值在定義域切更細的分割時會下降，而下積分之值在定義域切更的分割時會上升，兩者互為上、下界，而在上積分與下積分非常接近時，或是上積分與下積分的差值趨近於零時，可視為等號成立，即積分存在。

• 定義：函數$f$ 在閉區間$[a,b]$ 滿足 Riemann條件 w.r.t. 函數$\alpha \Leftrightarrow \forall \epsilon > 0 \ \exists P_{\epsilon} \subseteq P \ \ni 0 \leq U(P, f, \alpha) - L(P,f,\alpha) < \epsilon$.

• 此定義即當分割$P$切細時，若函數$f$相對於函數$\alpha$的上、下總和逐漸收斂時，則可積分。

• Theorem: 若函數$\alpha: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$為遞增函數，則以下三個敘述等價
  1. 函數$f \in \mathbf{RS}(\alpha)[a,b]$。
  2. 函數$f$在閉區間$[a,b]$相對於函數 $\alpha$ 滿足Riemann條件。
  3. 函數$f$ Darboux上積分等於下積分，$\overline{I}(f, \alpha) = \underline{I}(f, \alpha)$.

• Proof from (1) to (2):

  • 若$\alpha(a) = \alpha(b)$時，則(2)一定滿足，因此假設$\alpha(a) < \alpha(b)$.
  • $\because f \in \mathbf{RS}(\alpha)[a,b]$, given $\epsilon > 0 \exists P \supseteq P_{\epsilon}, t_{k1}, t_{k2} \in [x_{k-1}, x_k] \ni$. +$\left| \sum_{k=1}^n f(t_{k1}) \Delta \alpha_k - A \right| < \frac{\epsilon}{3}, \text{ and } \left| \sum_{k=1}^n f(t_{k2}) \Delta \alpha_k - A \right| < \frac{\epsilon}{3} \text{ ,where } A = \int_a^b f d \alpha$.
  • $\therefore \left| \sum_{k=1}^n [f(t_{k1}) - f(t_{k2})]\Delta \alpha_k \right| < \frac{2}{3}\epsilon$.
  • Given $k, \because M_k(f) - m_k(f) = \sup \{f(x) - f(y) \vert x, y \in [x_{k-1}, x_k] \}$.
  • $\therefore \forall h >0, f(t_{k1}) - f(t_{k2}) > M_k(f) - m_k(f) - h$.
  • choose $h = \frac{1/3 \epsilon }{[\alpha(b) - \alpha(a)]}$
  • $\begin{array}{rcl} U(P,f,\alpha) - L(P,f, \alpha) & = & \sum_{k=1}^n [M_k(f) - m_k(f)]\Delta \alpha_k \\ & < & \sum_{k=1}^n [f(t_{k1}) - f(t_{k2})]\Delta \alpha_k + h \sum_{k=1}^n \Delta \alpha_k < \epsilon. \end{array}$ (QED).

• Proof from (2) to (3):

  • 若Riemann條件成立，即給定$\epsilon > 0$，存在分割$P \supseteq P_{\epsilon} \ni U(P,f,\alpha) < L(P,f,\alpha) + \epsilon$.
  • $\therefore \overline{I}(f, \alpha) \leq U(P,f,\alpha) \leq L(P,f,\alpha) + \epsilon \leq \underline{I}(f, \alpha) + \epsilon$.
  • $\therefore \forall \epsilon > 0, \ \overline{I}(f,\alpha) \leq \underline{I}(f, \alpha) + \epsilon$ [1].
  • $\because \alpha$ 在閉區間$[a,b]$為遞增函數，所以$\underline{I}(f,\alpha) \leq \overline{I}(f, \alpha)$ [2].
  • By[1][2], 可得$\underline{I}(f,\alpha) = \overline{I}(f, \alpha)$. (QED).

• Proof from (3) to (1):

  • 令$\underline{I}(f,\alpha) = \overline{I}(f, \alpha) = A$，要證明$\int_a^b f d \alpha$ 存在且等於$A$。
  • 給定$\epsilon > 0$，選定分割$P_{\epsilon,1} \ni U(P,f,\alpha) < \overline{I}(f, \alpha) + \epsilon, \ \forall P \supseteq P_{\epsilon,1}.$
  • 另外選定分割$P_{\epsilon,2} \ni L(P, f, \alpha) > \underline{I}(f,\alpha) - \epsilon, \ \forall P \supseteq P_{\epsilon, 2}.$
  • 令 $P_{\epsilon} = P_{\epsilon,1} \cup P_{\epsilon,2}$，可得下式
  • $\underline{I}(f, \alpha) - \epsilon < L(P,f,\alpha) \leq S(P,f,\alpha) \leq U(P,f,\alpha) < \overline{I}(f,\alpha) + \epsilon , \ \forall P \supseteq P_{\epsilon}.$
  • $\because \overline{I}(f,\alpha) = \underline{I}(f,\alpha) = A, \ \therefore | S(P,f,\alpha) - A | < \epsilon \ \forall P \supseteq P_{\epsilon}$ (QED).