連通集合(connected set)
連通集合與連續函數的中間值定理有密切關係的子集。
中間值定理:連續函數 ,則對介於 之間的每個實數 ,都可找到介於 之間的某個點 使得 .
- 若 為一連續函數,且 為開集合。
- 假設 不具備中間值定理,則可找到一實數 且 。
- 令 ,則 都是開集合,且 。
- 因此可知 被兩個不相交的非空開集 分割成兩個部份。
- 定義:不連通集(disconnected set)
- ,若 中有兩個開集合 ,則稱 為不連通集 .
- 若 不是不連通集時,則稱 為連通集(connected set).
E.g. 不是連通集,因為 可表示為 兩個不相交集合的聯集。
E.g. 中,有理數向量 不是連通集,如 , , 則 都是開集合, .
- Theorem:連通集的閉包
- 為連通集,則滿足 的集合 都是連通集。
- Proof:
- 設 為開集合,且 .
- 因為 ,所以 .
- 因為 為連通集,所以 或 .
- 若 ,則因為 是開集合,所以由 可得 , , .
- 同理,若 ,則 ,因此 中找不到兩開集 能滿足 。
- 因此依定理可知 為連通集 (QED).