連通集合(connected set)

  • 連通集合與連續函數的中間值定理有密切關係的子集。

  • 中間值定理:連續函數 f:[a,b]R f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R} ,則對介於 f(a),f(b) f(a), f(b) 之間的每個實數 r r ,都可找到介於 a,b a, b 之間的某個點 c c 使得 f(c)=r f(c) = r .

    • f:AR f: A \rightarrow \mathbb{R} 為一連續函數,且 AR A \subset \mathbb{R} 為開集合。
    • 假設 f f 不具備中間值定理,則可找到一實數 rrf(A) r \ni r \notin f(A) f(A)(,r)ϕ,f(A)(r,)ϕ f(A) \cap (-\infty, r) \neq \phi, f(A) \cap (r, \infty) \neq \phi
    • U=f1(,r), V=f1(r,) U = f^{-1}(-\infty, r),\ V = f^{-1}(r, \infty) ,則 U,V U, V 都是開集合,且 Uϕ,Vϕ,A=UV,UV=ϕ U \neq \phi, V \neq \phi, A = U \cup V, U \cap V = \phi
    • 因此可知 A A 被兩個不相交的非空開集 U,V U, V分割成兩個部份。
    • 定義:不連通集(disconnected set)
    • ARk A \subset \mathbb{R}^k ,若 Rk \mathbb{R}^k 中有兩個開集合 U,VAUϕ, AVϕ, AUV, AUV=ϕ U, V \ni A\cap U \neq \phi, \ A \cap V \neq \phi, \ A \subset U \cup V, \ A \cap U \cap V = \phi ,則稱 A A 為不連通集
    • .
    • ARk A \subset \mathbb{R}^k 不是不連通集時,則稱 A A 為連通集(connected set).
    • E.g. aR,R{a} \forall a \in \mathbb{R}, \mathbb{R} - \lbrace a \rbrace 不是連通集,因為 R{a} \mathbb{R} - \lbrace a \rbrace 可表示為 (,a),(a,) (-\infty, a), (a, \infty) 兩個不相交集合的聯集。

    • E.g. Rk \mathbb{R}^k 中,有理數向量 Qk \mathbb{Q}^k 不是連通集,如 U={(x1,,xk)Rkx1>sqrt2} U = \lbrace (x_1, \cdots, x_k) \in \mathbb{R}^k | x_1 > sqrt{2} \rbrace , V={x1,,xk)Rkx1<sqrt2} V = \lbrace x_1, \cdots, x_k) \in \mathbb{R}^k | x_1 < sqrt{2} \rbrace , 則 U,V U, V 都是開集合, UQkϕ,VQkphi,QkUV,UV=ϕ U \cap \mathbb{Q}^k \neq \phi, V \cap \mathbb{Q}^k \neq phi, \mathbb{Q}^k \subset U \cup V, U \cap V = \phi .

    • Theorem:連通集的閉包
    • ARk A \subset \mathbb{R}^k 為連通集,則滿足 ABA A \subset B \subset \overline{A} 的集合 B B 都是連通集。
    • Proof:
    • U,VRk U, V \subset \mathbb{R}^k 為開集合,且 BUV, BUV=ϕ B \subset U \cup V, \ B \cap U \cap V = \phi .
    • 因為 AB A \subset B ,所以 AUV, AUV= phi A \subset U \cup V, \ A \cap U \cap V =\ phi .
    • 因為 A A 為連通集,所以 AU=ϕ A \cap U = \phi AV=ϕ A \cap V = \phi .
    • AU=ϕ A \cap U = \phi ,則因為 U U 是開集合,所以由 ARkU A \subset \mathbb{R}^k - U 可得 ARkU \overline{A} \subset \mathbb{R}^k - U , AU=ϕ \overline{A} \cap U = \phi , BU=ϕ B \cap U = \phi .
    • 同理,若 AV=ϕ A \cap V = \phi ,則 BV=ϕ B \cap V = \phi ,因此 Rk \mathbb{R}^k 中找不到兩開集 U,V U, V 能滿足 BUϕ,BVϕ,BUV,BUV=ϕ B \cap U \neq \phi, B\cap V \neq \phi, B \subset U \cup V, B \cap U \cap V = \phi
    • 因此依定理可知 B B 為連通集 (QED).

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