連通集合（connected set)

• 連通集合與連續函數的中間值定理有密切關係的子集。

• 中間值定理：連續函數 $f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$，則對介於 $f(a), f(b)$之間的每個實數 $r$，都可找到介於 $a, b$之間的某個點 $c$使得 $f(c) = r$.

  • 若 $f: A \rightarrow \mathbb{R}$ 為一連續函數，且 $A \subset \mathbb{R}$為開集合。
  • 假設 $f$不具備中間值定理，則可找到一實數 $r \ni r \notin f(A)$ 且 $f(A) \cap (-\infty, r) \neq \phi, f(A) \cap (r, \infty) \neq \phi$。
  • 令 $U = f^{-1}(-\infty, r),\ V = f^{-1}(r, \infty)$，則 $U, V$都是開集合，且 $U \neq \phi, V \neq \phi, A = U \cup V, U \cap V = \phi$。
  • 因此可知 $A$被兩個不相交的非空開集 $U, V$分割成兩個部份。
• 定義：不連通集(disconnected set)
  • $A \subset \mathbb{R}^k$，若 $\mathbb{R}^k$中有兩個開集合 $U, V \ni A\cap U \neq \phi, \ A \cap V \neq \phi, \ A \subset U \cup V, \ A \cap U \cap V = \phi$，則稱 $A$為不連通集
  .
  • 若 $A \subset \mathbb{R}^k$不是不連通集時，則稱 $A$為連通集(connected set).

  • E.g. $\forall a \in \mathbb{R}, \mathbb{R} - \lbrace a \rbrace$不是連通集，因為 $\mathbb{R} - \lbrace a \rbrace$可表示為 $(-\infty, a), (a, \infty)$兩個不相交集合的聯集。

  • E.g. $\mathbb{R}^k$中，有理數向量 $\mathbb{Q}^k$不是連通集，如 $U = \lbrace (x_1, \cdots, x_k) \in \mathbb{R}^k | x_1 > sqrt{2} \rbrace$, $V = \lbrace x_1, \cdots, x_k) \in \mathbb{R}^k | x_1 < sqrt{2} \rbrace$, 則 $U, V$都是開集合， $U \cap \mathbb{Q}^k \neq \phi, V \cap \mathbb{Q}^k \neq phi, \mathbb{Q}^k \subset U \cup V, U \cap V = \phi$.

• Theorem:連通集的閉包
  • $A \subset \mathbb{R}^k$為連通集，則滿足 $A \subset B \subset \overline{A}$的集合 $B$都是連通集。
  • Proof:
  • 設 $U, V \subset \mathbb{R}^k$為開集合，且 $B \subset U \cup V, \ B \cap U \cap V = \phi$.
  • 因為 $A \subset B$，所以 $A \subset U \cup V, \ A \cap U \cap V =\ phi$.
  • 因為 $A$為連通集，所以 $A \cap U = \phi$ 或 $A \cap V = \phi$.
  • 若 $A \cap U = \phi$，則因為 $U$是開集合，所以由 $A \subset \mathbb{R}^k - U$可得 $\overline{A} \subset \mathbb{R}^k - U$, $\overline{A} \cap U = \phi$, $B \cap U = \phi$.
  • 同理，若 $A \cap V = \phi$，則 $B \cap V = \phi$，因此 $\mathbb{R}^k$中找不到兩開集 $U, V$能滿足 $B \cap U \neq \phi, B\cap V \neq \phi, B \subset U \cup V, B \cap U \cap V = \phi$。
  • 因此依定理可知 $B$為連通集 (QED).