令Ω為事件宇集合,其冪集合記為P(Ω), sigma field F⊆P(Ω)且滿足以下性質:
- ϕ∈F. (sigma field中必須含有空集合,因此sigma field必含有元素)
- ∀S⊆Ω, if S∈F, then Sc∈F. (事件集合S為sigma field的元素時,其補集合Sc必須也是sigma field的元素)
- If Si∈F, i=1,2,⋯,n, then ∪i=1nSi∈F. (sigma field中任意事件集合的有限次聯集仍在sigma field中)
- If Si∈F, i∈N, then ∪i∈NSi∈F. (sigma field中任意事件集合的無窮聯集仍在sigma field中)。
- 如果F滿足1,2,3時稱為field。
- 如果F滿足1,2,4時稱為sigma-field。
由定義可得 Ω∈F, [∵ϕ∈F ∴ϕc=Ω∈F].
同上,可得∩i=1∞Si∈F,所以F為閉集合(close set)。
E.g. 令 Ω={1,2,3}.
- F1={ϕ,{1},{2,3},Ω} 為sigma-field。
- F2={ϕ,{1},{2},{3},Ω} 不是sigma-field,因為 {1}∈F2,但是其補集 {2,3}∉F2。
Borel set: Ω=R, F= 由實數中任意子集所形成的集合,則 F 為 sigma-field.
Ω=N, then
- F1={ϕ,{1,3,5,7,⋯,},{2,4,6,8,⋯},N} 為sigma-field。
- F2={ϕ,{3,6,9,⋯,},{1,4,7,⋯,},{2,5,8,⋯},{1,2,4,5,7,8,⋯,},{2,3,5,6,8,9,⋯},N} 為sigma-field。
- F3={ϕ,{1,2},{3,4},{5,6},⋯,{1,2,3,4},{1,2,5,6},⋯,{1,2,3,4,5,6},⋯,N} 為sigma-field。
Ω=N, then
- F1={S⊂N∣S is finite or Sc is finite}不是sigma-field。
- E.g. Sn={n}∈F1, ∀n,但是 ∪n=1∞Sn∉F1。
- F1={S⊂N∣S countable Sc is countable }是sigma-field。
注意同一樣本空間中可存在不同的sigma-field,且各種不同的sigma-field不會有任何包含的關係。