Sigma-field (Sigma-algebra)

• 假設 $\Omega$ 表示樣本空間(sample space)，其構成的基本元素為 $\omega$，可以是物件、符號或是數字，在量方面允許為可數或不可數、有限或無限均可。

  • 由直覺上來看 $\Omega$代表的是所有可能發生的結果所形成的集合。
  • E.g. $\Omega = \mathbb{N} = \lbrace \omega_n | \omega_n = n, \ \forall n \in \mathbb{N} \rbrace$.
  • E.g. $\Omega = \mathbb{R}$, 所有實數所形成的集合。
  • E.g. $\Omega =$ 所有水果種類所形成的集合。
  • E.g. $\Omega =$ 所有顏色所形成的集合。

• sigma-field $\mathcal{F}$是由事件 $\omega\in\Omega$組合所形成的集合，因此 $\omega \in \mathcal{F} \subset \Omega$。

• 初等機率中，經常令$\mathcal{F}$為$\omega$的冪集合(power set)，即$\vert \mathcal{F} \vert =2^{\vert \Omega \vert }$，表示任意事件均可能發生的集合。

• 定義sigma field有以下三個主要的目的：

  • 定義測度與隨機變數。
  • 操作集合的極限行為。
  • 管理與定義集合中的部份資訊。

集合的極限

• 令 $X$為集合， $\lbrace E_n \rbrace_{n \in \mathbb{N}}$ 為 $X$ 中的子集合族。
• 定義：upper and lower limit of subsets
  • $\begin{array}{rcl} \overline{ \lim_{n \rightarrow \infty}E_n} & = & \lbrace x \in X| x \text{ belongs to infinity many } E_n \rbrace \\ & = & \cap_{k=1}^{\infty} \cup_{n=k}^{\infty} E_n. \end{array}$
  • $\begin{array}{rcl} \underline{ \lim_{n \rightarrow \infty}E_n} & = & \lbrace x \in X| x \text{ belongs to all but finitely many } E_n \rbrace \\ & = & \cup_{k=1}^{\infty} \cap_{n=k}^{\infty} E_n. \end{array}$
  • Note: $\underline{ \lim_{n \rightarrow \infty}E_n } \subseteq \overline{ \lim_{n \rightarrow \infty}E_n }$.
• 定義：極限存在
  • 若 $\overline{ \lim_{n \rightarrow \infty}E_n } = \underline{ \lim_{n \rightarrow \infty} E_n } \Rightarrow \lbrace E_n \rbrace$的極限存在

Sigma-field 定義

• 令$\Omega$為事件宇集合，其冪集合記為$P(\Omega)$, sigma field $\mathcal{F} \subseteq P(\Omega)$且滿足以下性質：
  1. $\phi \in \mathcal{F}$. (sigma field中必須含有空集合，因此sigma field必含有元素)
  2. $\forall S \subseteq \Omega$, if $S \in \mathcal{F}$, then $S^c \in \mathcal{F}$. (事件集合$S$為sigma field的元素時，其補集合$S^c$必須也是sigma field的元素)
  3. If $S_i \in \mathcal{F}$, $i=1,2,\cdots,n$, then $\cup_{i=1}^{n} S_i \in \mathcal{F}$. (sigma field中任意事件集合的有限次聯集仍在sigma field中)
  4. If $S_i \in \mathcal{F}$, $i \in \mathbb{N}$, then $\cup_{i \in \mathbb{N}} S_i \in \mathcal{F}$. (sigma field中任意事件集合的無窮聯集仍在sigma field中)。
  • 如果$\mathcal{F}$滿足1,2,3時稱為field。
  • 如果$\mathcal{F}$滿足1,2,4時稱為sigma-field。

• 由定義可得 $\Omega \in \mathcal{F}$, [$\because \phi \in \mathcal{F}$ $\therefore \phi^c = \Omega \in \mathcal{F}$].

• 同上，可得$\cap_{i=1}^{\infty} S_i \in \mathcal{F}$，所以$\mathcal{F}$為閉集合(close set)。

• E.g. 令 $\Omega = \lbrace 1,2,3 \rbrace$.

  • $\mathcal{F}_1 = \lbrace \phi, \lbrace 1 \rbrace , \lbrace 2,3 \rbrace , \Omega \rbrace$ 為sigma-field。
  • $\mathcal{F}_2 = \lbrace \phi, \lbrace 1 \rbrace , \lbrace 2 \rbrace , \lbrace 3 \rbrace , \Omega \rbrace$ 不是sigma-field，因為 $\lbrace 1 \rbrace \in \mathcal{F}_2$，但是其補集 $\lbrace 2,3 \rbrace \notin \mathcal{F}_2$。

• Borel set: $\Omega = \mathbb{R}$， $\mathcal{F} =$ 由實數中任意子集所形成的集合，則 $\mathcal{F}$ 為 sigma-field.

• $\Omega = \mathbb{N}$, then

  • $\mathcal{F}_1 = \lbrace \phi, \lbrace 1,3,5,7,\cdots, \rbrace, \lbrace 2,4,6,8, \cdots \rbrace, \mathbb{N} \rbrace$ 為sigma-field。
  • $\mathcal{F}_2 = \lbrace \phi, \lbrace 3,6,9, \cdots, \rbrace, \lbrace 1,4,7,\cdots, \rbrace, \lbrace 2,5,8,\cdots \rbrace, \lbrace 1,2,4,5,7,8,\cdots, \rbrace, \lbrace 2,3,5,6,8,9,\cdots \rbrace,\mathbb{N} \rbrace$ 為sigma-field。
  • $\mathcal{F}_3 = \lbrace \phi, \lbrace 1,2 \rbrace, \lbrace 3,4 \rbrace, \lbrace 5,6 \rbrace, \cdots, \lbrace 1,2,3,4 \rbrace, \lbrace 1,2,5,6 \rbrace, \cdots, \lbrace 1,2,3,4,5,6 \rbrace, \cdots, \mathbb{N} \rbrace$ 為sigma-field。

• $\Omega = \mathbb{N}$, then

  • $\mathcal{F}_1 = \lbrace S \subset \mathbb{N} | S \text{ is finite or } S^c \text{ is finite} \rbrace$不是sigma-field。
  • E.g. $S_n = \lbrace n \rbrace \in \mathcal{F}_1,\ \forall n$，但是 $\cup_{n=1}^{\infty} S_n \notin \mathcal{F}_1$。
  • $\mathcal{F}_1 = \lbrace S \subset \mathbb{N} | S \text{ countable } S^c \text{ is countable } \rbrace$是sigma-field。

• 注意同一樣本空間中可存在不同的sigma-field，且各種不同的sigma-field不會有任何包含的關係。