Sigma-field (Sigma-algebra)

  • 假設 Ω \Omega 表示樣本空間(sample space),其構成的基本元素為 ω \omega ,可以是物件、符號或是數字,在量方面允許為可數或不可數、有限或無限均可。

    • 由直覺上來看 Ω \Omega 代表的是所有可能發生的結果所形成的集合。
    • E.g. Ω=N={ωnωn=n, nN} \Omega = \mathbb{N} = \lbrace \omega_n | \omega_n = n, \ \forall n \in \mathbb{N} \rbrace .
    • E.g. Ω=R \Omega = \mathbb{R} , 所有實數所形成的集合。
    • E.g. Ω= \Omega = 所有水果種類所形成的集合。
    • E.g. Ω= \Omega = 所有顏色所形成的集合。
  • sigma-field F\mathcal{F}是由事件 ωΩ\omega\in\Omega組合所形成的集合,因此 ωFΩ \omega \in \mathcal{F} \subset \Omega

  • 初等機率中,經常令F\mathcal{F}ω\omega的冪集合(power set),即F=2Ω \vert \mathcal{F} \vert =2^{\vert \Omega \vert } ,表示任意事件均可能發生的集合。

  • 定義sigma field有以下三個主要的目的:

    • 定義測度與隨機變數。
    • 操作集合的極限行為。
    • 管理與定義集合中的部份資訊。

集合的極限

  • X X 為集合, {En}nN \lbrace E_n \rbrace_{n \in \mathbb{N}} X X 中的子集合族。
    • 定義:upper and lower limit of subsets
    • limnEn={xXx belongs to infinity many En}=k=1n=kEn. \begin{array}{rcl} \overline{ \lim_{n \rightarrow \infty}E_n} & = & \lbrace x \in X| x \text{ belongs to infinity many } E_n \rbrace \\ & = & \cap_{k=1}^{\infty} \cup_{n=k}^{\infty} E_n. \end{array}
    • limnEn={xXx belongs to all but finitely many En}=k=1n=kEn. \begin{array}{rcl} \underline{ \lim_{n \rightarrow \infty}E_n} & = & \lbrace x \in X| x \text{ belongs to all but finitely many } E_n \rbrace \\ & = & \cup_{k=1}^{\infty} \cap_{n=k}^{\infty} E_n. \end{array}
    • Note: limnEnlimnEn \underline{ \lim_{n \rightarrow \infty}E_n } \subseteq \overline{ \lim_{n \rightarrow \infty}E_n } .
    • 定義:極限存在
    • limnEn=limnEn{En} \overline{ \lim_{n \rightarrow \infty}E_n } = \underline{ \lim_{n \rightarrow \infty} E_n } \Rightarrow \lbrace E_n \rbrace 的極限存在

Sigma-field 定義

    1. Ω\Omega為事件宇集合,其冪集合記為P(Ω)P(\Omega), sigma field FP(Ω)\mathcal{F} \subseteq P(\Omega)且滿足以下性質:
    2. ϕF\phi \in \mathcal{F}. (sigma field中必須含有空集合,因此sigma field必含有元素)
    3. SΩ \forall S \subseteq \Omega, if SFS \in \mathcal{F}, then ScFS^c \in \mathcal{F}. (事件集合SS為sigma field的元素時,其補集合ScS^c必須也是sigma field的元素)
    4. If SiF S_i \in \mathcal{F}, i=1,2,,ni=1,2,\cdots,n, then i=1nSiF\cup_{i=1}^{n} S_i \in \mathcal{F}. (sigma field中任意事件集合的有限次聯集仍在sigma field中)
    5. If SiF S_i \in \mathcal{F}, iNi \in \mathbb{N}, then iNSiF\cup_{i \in \mathbb{N}} S_i \in \mathcal{F}. (sigma field中任意事件集合的無窮聯集仍在sigma field中)。
    • 如果F\mathcal{F}滿足1,2,3時稱為field
    • 如果F\mathcal{F}滿足1,2,4時稱為sigma-field
  • 由定義可得 ΩF\Omega \in \mathcal{F}, [ϕF\because \phi \in \mathcal{F} ϕc=ΩF\therefore \phi^c = \Omega \in \mathcal{F}].

  • 同上,可得i=1SiF\cap_{i=1}^{\infty} S_i \in \mathcal{F},所以F\mathcal{F}為閉集合(close set)。

  • E.g. 令 Ω={1,2,3} \Omega = \lbrace 1,2,3 \rbrace .

    • F1={ϕ,{1},{2,3},Ω} \mathcal{F}_1 = \lbrace \phi, \lbrace 1 \rbrace , \lbrace 2,3 \rbrace , \Omega \rbrace 為sigma-field。
    • F2={ϕ,{1},{2},{3},Ω} \mathcal{F}_2 = \lbrace \phi, \lbrace 1 \rbrace , \lbrace 2 \rbrace , \lbrace 3 \rbrace , \Omega \rbrace 不是sigma-field,因為 {1}F2 \lbrace 1 \rbrace \in \mathcal{F}_2,但是其補集 {2,3}F2 \lbrace 2,3 \rbrace \notin \mathcal{F}_2
  • Borel set: Ω=R \Omega = \mathbb{R} F= \mathcal{F} = 由實數中任意子集所形成的集合,則 F \mathcal{F} 為 sigma-field.

  • Ω=N \Omega = \mathbb{N} , then

    • F1={ϕ,{1,3,5,7,,},{2,4,6,8,},N} \mathcal{F}_1 = \lbrace \phi, \lbrace 1,3,5,7,\cdots, \rbrace, \lbrace 2,4,6,8, \cdots \rbrace, \mathbb{N} \rbrace 為sigma-field。
    • F2={ϕ,{3,6,9,,},{1,4,7,,},{2,5,8,},{1,2,4,5,7,8,,},{2,3,5,6,8,9,},N} \mathcal{F}_2 = \lbrace \phi, \lbrace 3,6,9, \cdots, \rbrace, \lbrace 1,4,7,\cdots, \rbrace, \lbrace 2,5,8,\cdots \rbrace, \lbrace 1,2,4,5,7,8,\cdots, \rbrace, \lbrace 2,3,5,6,8,9,\cdots \rbrace,\mathbb{N} \rbrace 為sigma-field。
    • F3={ϕ,{1,2},{3,4},{5,6},,{1,2,3,4},{1,2,5,6},,{1,2,3,4,5,6},,N} \mathcal{F}_3 = \lbrace \phi, \lbrace 1,2 \rbrace, \lbrace 3,4 \rbrace, \lbrace 5,6 \rbrace, \cdots, \lbrace 1,2,3,4 \rbrace, \lbrace 1,2,5,6 \rbrace, \cdots, \lbrace 1,2,3,4,5,6 \rbrace, \cdots, \mathbb{N} \rbrace 為sigma-field。
  • Ω=N \Omega = \mathbb{N} , then

    • F1={SNS is finite or Sc is finite} \mathcal{F}_1 = \lbrace S \subset \mathbb{N} | S \text{ is finite or } S^c \text{ is finite} \rbrace 不是sigma-field。
    • E.g. Sn={n}F1, n S_n = \lbrace n \rbrace \in \mathcal{F}_1,\ \forall n ,但是 n=1SnF1 \cup_{n=1}^{\infty} S_n \notin \mathcal{F}_1
    • F1={SNS countable Sc is countable } \mathcal{F}_1 = \lbrace S \subset \mathbb{N} | S \text{ countable } S^c \text{ is countable } \rbrace 是sigma-field。
  • 注意同一樣本空間中可存在不同的sigma-field,且各種不同的sigma-field不會有任何包含的關係。

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