Riemann-Stieltjes integral
- 微積分主要與兩個函數的幾何問題有關:
- 找出函數曲線上某一點的切線(微分)
- 找出函數曲線下的面積(積分)
更細分割(Finer partition)
- with 為閉區間的分割。
- 若,則為是比更細的分割。(因為的分割點更多)。
- 而閉區間間所有可能的分割為。
- 分割的範數(norm)為分割中最長的區間,.
- . (反之不一定成立)
- E.g. 為閉區間的分割,若,則。
- E.g. 同上,所以,若,則,但是不是的更細分割。
Riemann-Stieltjes積分定義
這邊先討論函數可積分的情形下之性質,之後的章節再討論函數在何種條件下可積分。
令為閉區間的分割,令點,稱.為Riemann-Stieltjes sum of w.r.t. to 。
.為 Riemann sum of 。
是將經函數轉換後再將區間切細之差值,若時,即為單純的Riemann積分。
- 定義:函數 相對於在區間 Riemann-Stieltjes可積分,或是簡寫為 若
分割某一種滿足條件 的分割,當分割為的更細分割時,即,之值會逐漸接近。
可積分的條件之一是在定義域越切越細時,值域之加總值為有限值,即全變差之值為有界。並非所有連續函數都可積分。
當函數可積分時,其積分值唯一決定,且積分可寫成,為被積分函數(integrand),而為積分函數(integrator)。
積分值為函數與積分區間的函數。
- 定義:若 if 。
- 定義:.
另一個常用的Riemann-Stieltjes積分定義如下:
- 定義: .
即分割越切越細,子區間最大值小於值時分割。
不同定義的區別在於第一種定義的更細分割是分割的子集合,而第二種分割只要更細分割的最大子分割小於即可,不必為原分割的子集合。
兩種定義的想法都是當積分函數區間切的越細時,函數加總值會逐漸逼近積分值。
積分線性性質
- ,則.
Proof: let , and given then
- choose , and
.
此時是切的最細的分割,令,,則
(QED).
- and then
- , 當右式三個積分有兩個積分值存在時,則第三個積分值也存在 。
或寫成 .
使用數學歸納法,可得出將閉區間切成有限個子區間時,均為可積 。
Proof: 令分割,令,分別為區間上的分割.
.
假設 存在,則:
Given
Given
取 為的分割,則
+。 (QED).
分部積分(Integration by parts)
- If then , 即積分 存在時,也存在,反之亦然。 .
- Proof:
給定,因為積分 存在,即存在分割.
考慮積分的Riemann-Stieltjes sum,給定,
.
令,可得等式.
,這邊的分割由是得來。
.
所以可得 (QED).
變數變換(Change of variable)
函數 且 函數 為嚴格單調連續函數 (也可不必為單調函數),定義在端點為 的區間 。
令 且函數 為複合函數。
- then and . i.e. .
- Proof:
- 假設在嚴格遞增,因此為1-1,所以為連續嚴格遞增函數。
- 即對於所有的分割,都存在對應的分割 且 。
即 且 ,且更細的分割都存在此種關係。
因,給定.
- 令為的分割,且。
- 則.
- 令,則為更細的分割。
可得
(QED).
化簡為Riemann積分
當函數的微分函數 連續時,可將積分的積分函數 轉換成 .
- Theorem: 函數 ,且函數 在閉區間 存在連續的微分函數 ,則.
之後可證明微分函數 不須連續上式也成立。
- Proof:
令且考慮Riemann sum
相同的分割 與相同的切割點可得到Riemann-Stieltjes sum .
由均值定理(MVT),可得到,
.
因為函數有界,令.
在 連續,所以給定.
取分割,且其範數,則必定成立。
[1].
[2].
由[1][2],取,可得 (QED).