Riemann-Stieltjes integral

• 微積分主要與兩個函數的幾何問題有關：
  • 找出函數曲線上某一點的切線(微分)
  • 找出函數曲線下的面積(積分)

更細分割(Finer partition)

• $P = \lbrace x_0, x_1, x_2, \cdots, x_n \rbrace$ with $a=x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_n = b$為閉區間$[a,b]$的分割。
• 若$P \subseteq P^{'}$，則$P^{'}$為是比$P$更細的分割。(因為$P^{'}$的分割點更多)。
• 而閉區間$[a,b]$間所有可能的分割為$\mathbb{P}[a,b]$。
• 分割的範數(norm)為分割中最長的區間，$\Vert P \Vert = \sup_{ 1 \leq k \leq n} \Delta x_k = \sup_{ 1 \leq k \leq n} [x_k - x_{k-1}]$.
• $P \subseteq P^{'} \Rightarrow \Vert P^{'} \Vert \leq \Vert P \Vert$. (反之不一定成立)
  • E.g. $P= \{0,1,3,6,7, 10\}$為閉區間$[0,10]$的分割，若$P_1 = \{0,1,2,3,4,6,7,10 \}$，則$P \subseteq P_1$。
  • E.g. $P$同上，所以$\Vert P \Vert = 3$，若$P_2 = \{ 0,1,3,5,7,9,10 \}$，則$\Vert P_2 \Vert = 2$，但是$P_2$不是$P$的更細分割。

Riemann-Stieltjes積分定義

• 這邊先討論函數可積分的情形下之性質，之後的章節再討論函數在何種條件下可積分。

• 令$P$為閉區間$[a,b]$的分割，令點$t_k \in [x_{k-1}, x_k],\ k=1,2,\cdots, n$，稱$S(P,f,\alpha) = \sum_{k=1}^n f(t_k) \Delta \alpha_k$.為Riemann-Stieltjes sum of $f$ w.r.t. to $\alpha$。

• $S(P,f) = \sum_{k=1}^n f(t_k) \Delta x_k$.為 Riemann sum of $f$。

• $\Delta \alpha_k = \alpha(x_k) - \alpha(x_{k-1})$是將$x$經函數$\alpha$轉換後再將區間切細之差值，若$\alpha(x)=x$時，即為單純的Riemann積分。

• 定義：函數$f$ 相對於$\alpha$在區間$[a,b]$ Riemann-Stieltjes可積分，或是簡寫為$f \in RS(\alpha)[a,b]$ 若 $\forall \epsilon >0 \exists \text{ partition } P_{\epsilon}[a,b] \ni |S(P,f,\alpha) - M| <\epsilon, \forall P_\epsilon \subseteq P \text{ and } \forall t_k \in [x_{k-1}, x_k].$

  • 分割$P_{\epsilon}$某一種滿足條件 $|S(P,f,\alpha) - M| = \epsilon$的分割，當分割$P$為$P_{\epsilon}$的更細分割時，即$P_\epsilon \subseteq P$，$S(P,f,\alpha)$之值會逐漸接近$M$。

  • 可積分的條件之一是在定義域越切越細時，值域之加總值為有限值$M < \infty$，即全變差之值為有界。並非所有連續函數都可積分。

  • 當函數可積分時，其積分值$M$唯一決定，且積分可寫成$\int_a^b f d\alpha \text{ or } \int_a^b f(x) d \alpha(x)$，$f$為被積分函數(integrand)，而$\alpha$為積分函數(integrator)。

  • 積分值$M$為函數$f, \alpha$與積分區間$a,b$的函數。

• 定義：若 $a < b \ \int_a^b f d \alpha = - \int_b^a f d \alpha$ if $\int_b^a f d \alpha < \infty$ 。
• 定義：$\int_a^a f d \alpha = 0$.

• 另一個常用的Riemann-Stieltjes積分定義如下：

• 定義： $\forall \epsilon > 0 \ \exists \delta > 0 \ \ni \forall P \in \mathbb{P}[a,b], \Vert P \Vert < \delta \text { and } \forall t_k \in [x_{k-1}, x_k], \vert S(P,f,\alpha) - M \vert < \epsilon$.

  • $\Vert P \Vert < \delta$ 即分割$P$越切越細，子區間最大值小於$\delta$值時分割。

  • 不同定義的區別在於第一種定義的更細分割$P$是分割$P_{\epsilon}$的子集合，而第二種分割只要更細分割的最大子分割小於$\epsilon$即可，不必為原分割的子集合。

  • 兩種定義的想法都是當積分函數區間切的越細時，函數加總值會逐漸逼近積分值$M$。

積分線性性質

• $f,\ g \in \mathbf{RS}(\alpha)[a,b]$，則$c_1 f+ c_2 g \in \mathbf{RS}(\alpha)[a,b], \ \forall c_1, c_2 \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \int_a^b (c_1 f + c_2 g) d \alpha = c_1 \int_a^b f d\alpha + c_2 \int_a^b g d \alpha$
  .

  • Proof: let $h = c_1 f + c_2 g$, and given $P \in \mathbb{P}[a,b]$ then

  • $\begin{array}{rcl} S(P, h, \alpha) & = & \sum_{k=1}^n h(t_k) \Delta \alpha_k \\ & = & c_1 \sum_{k=1}^n f(t_k) \Delta \alpha_k + c2 \sum_{k=1}^n g(t_k) \Delta \alpha_k \\ & = & c_1 S(P,f,\alpha) + c_2 S(P,g,\alpha). \end{array}$

    • $\because f \in \mathbf{RS}[a,b] \therefore \forall \epsilon > 0$ choose $P_{\epsilon}^{'} \subseteq P \ni \vert S(P,f,\alpha) - \int_a^b f d\alpha \vert < \epsilon$, and

  • $\because g \in \mathbf{RS}[a,b] \therefore P_{\epsilon}^{''} \subseteq P \ni \vert S(P,g,\alpha) - \int_a^b g d\alpha \vert < \epsilon$.

  • 此時$P$是切的最細的分割，令$P_{\epsilon} = P_{\epsilon}^{'} \cup P_{\epsilon}^{''}$，$\because P_{\epsilon} \subseteq P$，則

  • $\left \vert S(P, h, \alpha) - c_1 \int_a^b f d \alpha - c_2 \int_a^b g d \alpha \right \vert \leq | c_1 | \epsilon + | c_2 | \epsilon$ (QED).

• $f \in \mathbf{RS}(\alpha)[a,b]$ and $f \in \mathbf{RS}(\beta)[a,b]$ then $f \in \mathbf{RS}(c_1 \alpha + c_2 \beta)[a,b] \Leftrightarrow \int_a^b f d (c_1 \alpha + c_2 \beta) = c_1 \int_a^b f d\alpha + c_2 \int_a^b g d \beta.$

• $c \in [a,b]$, 當右式三個積分有兩個積分值存在時，則第三個積分值也存在 $\Leftrightarrow \int_a^c f d \alpha + \int_c^b f d \alpha = \int_a^b f d \alpha < \infty$。

  • 或寫成 $\int_a^c f d \alpha + \int_c^b f d \alpha + \int_c^a f d \alpha = 0$.

  • 使用數學歸納法，可得出將閉區間切成有限個子區間時，均為可積 。

  • Proof: 令分割$P \in \mathbb{P}[a,b] \text{ and } c \in P$，令$P^{'} = P \cap [a,c], \ P^{''} = P \cap [c,b]$，分別為區間$[a,c],\ [c,b$上的分割.

  • $\therefore S(P, f, \alpha) = S(P^{'}, f, \alpha) + S(P^{''}, f, \alpha)$.

  • 假設$\int_a^c f d \alpha \text{ and } \int_c^b f d \alpha$ 存在，則：

  • Given $\epsilon > 0, \exists P_{\epsilon}^{'}[a,c] \ni \left| S(P^{'}, f, \alpha) - \int_a^c f d\alpha \right| < \epsilon/2,\ P_{\epsilon}^{'} \subseteq P^{'}$

  • Given $\epsilon > 0, \exists P_{\epsilon}^{''}[c,b] \ni \left| S(P^{''}, f, \alpha) - \int_c^b f d\alpha \right| < \epsilon/2,\ P_{\epsilon}^{''} \subseteq P^{''}$

  • 取 $P_{\epsilon} = P_{\epsilon}^{'} \cup P_{\epsilon}^{''}$ 為$[a,b]$的分割，則$P_{\epsilon} \subseteq P \Rightarrow P_{\epsilon}^{'} \subseteq P \text{ and } P_{\epsilon}^{''} \subseteq P$

    +。$\therefore \left| S(P,f,\alpha) - \int_a^c f d \alpha - \int_c^b f d \alpha \right| < \epsilon$ (QED).

分部積分(Integration by parts)

• If $f \in \mathbf{RS}(\alpha)[a,b]$ then $\alpha \in \mathbf{RS}(f)[a,b]$， 即積分 $\int_a^b f d\alpha$ 存在時，$\int_a^b \alpha df$也存在，反之亦然。 $\Leftrightarrow \int_a^b f(x) d \alpha(x) + \int_a^b \alpha d f(x) = f(b) \alpha(b) - f(a) \alpha(a )$.
  • Proof:

  • 給定$\epsilon > 0$，因為積分 $\int_a^b f d \alpha$存在，即存在分割$P_{\epsilon} \in \mathbb{P}[a,b] \ni \forall P_{\epsilon} \subseteq P^{'}, \ \left| S(P^{'}, f, \alpha) - \int_a^b f d \alpha \right| < \epsilon$.

  • 考慮積分$\int_a^b \alpha df$的Riemann-Stieltjes sum，給定$P_{\epsilon} \subseteq P$,

  • $S(P, \alpha, f) = \sum_{k=1}^n \alpha(t_k) \Delta f_k = \sum_{k=1}^n \alpha(t_k) f(x_k) - \sum_{k=1}^n \alpha(t_k) f(x_{k-1})$.

  • 令$A = f(b)\alpha(b) - f(a)\alpha(a)$，可得等式$A = \sum_{k=1}^n f(x_k) \alpha(x_k) - \sum_{k=1}^n f(x_{k-1}) \alpha(x_{k-1})$.

  • $\therefore A - S(P,\alpha, f) = \sum_{k=1}^n f(x_k)[\alpha(x_k) - \alpha(t_k)] + \sum_{k=1}^n f(x_{k-1})[\alpha(t_k) - \alpha(x_{k-1})] = S(P^{'}, f, \alpha)$，這邊的分割$P^{'}$由是$x_k,\ t_k$得來。

  • $\therefore P \subseteq P^{'} \Rightarrow P_{\epsilon} \subseteq P^{'}$.

  • 所以可得$\forall P_{\epsilon} \subseteq P, \ \left| A - S(P,\alpha, f) - \int_a^b f d \alpha \right| < \epsilon$ (QED).

變數變換(Change of variable)

• 函數 $f \in \mathbf{RS}(\alpha)[a,b]$ 且 函數 $g:[c,d] \rightarrow \mathbb{R}$ 為嚴格單調連續函數 (也可不必為單調函數)，定義在端點為 $c,d$ 的區間 $S$。

• 令 $a = g(c), \ b = g(d)$ 且函數 $h(x) = f(g(x)) \beta(x) = \alpha(g(x)), \ \forall x \in S$為複合函數。

• then $h \in \mathbf{RS}(\beta)[c,d]$ and $\int_a^b f d \alpha = \int_c^d h d \beta$. i.e. $\int_{g(c)}^{g(d)} f(t) d\alpha(t) = \int_c^d f(g(x)) d (\alpha(g(x)))$.
  • Proof:
  • 假設$g$在$S$嚴格遞增，因此$g$為1-1，所以$g^{-1}: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$為連續嚴格遞增函數。
  • 即對於所有的分割$P=\lbrace y_0, y_1, \cdots, y_n \rbrace \in [c,d]$，都存在對應的分割$P^{'}=\lbrace x_0, x_1,\cdots, x_n \rbrace \in [a,b]$ 且 $x_k = g(y_k)$。

  • 即$P^{'} = g(P)$ 且 $P = g^{-1}(P^{'})$，且更細的分割都存在此種關係。

  • 因$f \in \mathbf{R}[a,b]$，給定$\epsilon > 0 \exists P_{\epsilon}^{'}[a,b] \ni \left| S(P^{'}, f, \alpha) - \int_a^b f d \alpha \right| < \epsilon,\ \forall P_{\epsilon}^{'} \subseteq P^{'}$.

  • 令$P_{\epsilon} = g^{-1}(P_{\epsilon}^{'})$為$[c,d]$的分割，且$P_{\epsilon} \subseteq P = \lbrace y_0, y_1, \cdots, y_n \rbrace$。
  • 則$S(P, h, \beta ) = \sum_{k=1}^n h(u_k)\Delta \beta _k,\ u_k \in [y_{k-1}, y_k],\ \Delta \beta_k = \beta(y_k) - \beta(y_{k-1})$.
  • 令$t_k = g(u_k),\ x_k = g(y_k)$，則$P_{\epsilon} \subseteq P^{'} = \lbrace x_0, x_1, \cdots, x_n \rbrace$為$[a,b]$更細的分割。

  • 可得 $\begin{array}{rcl} S(P,h,\beta ) & = & \sum{k=1}^n f[g(u_k)](\alpha[g(y_k)] - \alpha[g(y_{k-1}]) \\ & = & \sum_{k=1}^n f(t_k)[\alpha(x_k) - \alpha(x_{k-1})] \\ & = & S(P^{'}, f, \alpha). \end{array}$

  • $\because t_k \in [x_{k-1}, x_k],\ \therefore \left| S(P,h,\beta) - \int_a^b f d \alpha \right| < \epsilon$ (QED).

化簡為Riemann積分

• 當函數$\alpha$的微分函數 $\alpha^{'}$連續時，可將積分$\int_a^b f(x) d \alpha(x)$的積分函數$d \alpha(x)$ 轉換成 $\alpha^{'}(x) dx$.

• Theorem: 函數 $f \in \mathbf{RS}(\alpha)[a,b]$，且函數 $\alpha$ 在閉區間 $[a,b]$ 存在連續的微分函數 $\alpha^{'}$ ，則 $\int_a^b f(x) d \alpha(x) = \int_a^b f(x) \alpha^{'}(x) dx$
  .

• 之後可證明微分函數 $\alpha^{'}$ 不須連續上式也成立。

  • Proof:

  • 令$g(x) = f(x)\alpha^{'}(x)$且考慮Riemann sum $S(P,g) = \sum_{k=1}^n g(t_k)\Delta x_k = \sum_{k=1}^n f(t_k) \alpha^{'}(t_k) \Delta x_k$

  • 相同的分割$P$ 與相同的切割點$t_k$可得到Riemann-Stieltjes sum $S(P,f,\alpha) = \sum_{k=1}^n f(t_k) \Delta \alpha_k$.

  • 由均值定理(MVT)，可得到$\Delta \alpha_k = \alpha^{'}(v_k) \Delta x_k, \ v_k \in (x_{k-1}, x_k)$,

  • $\therefore S(P,f,\alpha) - S(P,g) = \sum_{k=1}^n f(t_k)[\alpha^{'}(v_k) - \alpha^{'}(t_k)]\Delta x_k$.

  • 因為函數$f$有界，令$0 < \vert f(x) \vert \leq M, \ \forall x \in [a,b]$.

  • $\because \alpha^{'}$在$[a,b]$ 連續，所以給定$\epsilon > 0,\ \exists \delta > 0 \ni |\alpha^{'}(x) - \alpha^{'}(y)| < \frac{\epsilon}{2M(b-a)}, \ 0 \leq | x- y| < \epsilon$.

  • 取分割$P^{'}_{\epsilon}$，且其範數$\Vert P_{\epsilon}^{'} \Vert < \delta$，則$\forall P_{\epsilon}^{'} \subseteq P, |\alpha^{'}(v_k) - \alpha^{'}(t_k) | < \epsilon/(2M(b-a))$必定成立。

  • $\therefore | S(P,f,\alpha) - S(P,g) | < \frac{\epsilon}{2}$ [1].

  • $\because f \in \mathbf{RS}[a,b], \therefore \exists P_{\epsilon}^{''} \subseteq P \ni \left| S(P,f,\alpha) - \int_a^b f d \alpha \right| < \frac{\epsilon}{2}$ [2].

  • 由[1][2]，取$P_{\epsilon}^{'} \cup P_{\epsilon}^{''} \subseteq P$，可得$\left| S(P,g) - \int_a^b f d \alpha \right| < \epsilon$ (QED).