Measurable function (可測函數)
隨機變數 (Random variable)
令 為機率空間
A function is called a random variable (measurable function) if
For each Borel set , .
pre-image 不是一個function, 而是代表值域所對應的定義域之值的集合。
根據function的定義,所有定義域之值,都必須存在;反之給定實數集合時,可得到事件集合.
如果將sigma field解釋為資訊(information)時,則必須是已知的資訊才可求出隨機變數之值,因此。
is called measurable with respect to (w.r.t) .
如果隨機變數 的取值是有限的或者是可數無窮盡的值 則稱 為離散隨機變數。
如果 由全部實數或者由一部分區間組成,,則稱 為連續隨機變數,連續隨機變量的值是不可數及無窮盡的。
由上面的定義可知隨機變數實質上是函數,而非名稱所述為變數。而隨機變數只是將隨機事件轉換成實數值,與機率測度無關。
判定隨機變數
由原始定義判斷一個函數是否為隨機變數相當麻煩,因此通常使用以下的定理簡化判斷。
令.
is a random variable defined on if
, .
, .
, .
, .