Measurable function (可測函數)

隨機變數 (Random variable)

  • (Ω,F,P)(\Omega, \mathcal{F}, P) 為機率空間

  • A function X:ΩRX: \Omega \rightarrow \mathbb{R} is called a random variable (measurable function) if

    • For each Borel set BB, X1(B)={ωΩX(ω)B}FX^{-1}(B) = \lbrace \omega \in \Omega \vert X(\omega) \in B \rbrace \in \mathcal{F} .

    • pre-image X1()X^{-1}(\cdot)不是一個function, 而是代表值域所對應的定義域之值的集合。

    • 根據function的定義,所有定義域之值ω\omega,都必須存在X(ω)BX(\omega) \in B;反之給定實數集合BB時,可得到事件集合X1(B)={ωX(ω)B}X^{-1}(B) = \lbrace \omega \vert X(\omega) \in B\rbrace.

    • 如果將sigma field解釋為資訊(information)時,則必須是已知的資訊才可求出隨機變數之值,因此X1(B)FX^{-1}(B) \in \mathcal{F}

  • XX is called measurable with respect to (w.r.t) F\mathcal{F}.

  • 如果隨機變數 X\mathbf{X} 的取值是有限的或者是可數無窮盡的值 X={x1,x2,x3,,} \mathbf{X}=\lbrace x_{1},x_{2},x_{3},\cdots ,\rbrace 則稱 X\mathbf{X} 為離散隨機變數。

  • 如果 X\mathbf{X} 由全部實數或者由一部分區間組成,X={xaxb}, <a<b<\mathbf{X}=\lbrace x| a\leq x\leq b\rbrace,\ -\infty < a < b < \infty ,則稱 X\mathbf{X} 為連續隨機變數,連續隨機變量的值是不可數及無窮盡的。

  • 由上面的定義可知隨機變數實質上是函數,而非名稱所述為變數。而隨機變數只是將隨機事件ω\omega轉換成實數值,與機率測度PP無關。

判定隨機變數

  • 由原始定義判斷一個函數是否為隨機變數相當麻煩,因此通常使用以下的定理簡化判斷。

  • {XB}{ωΩX(ω)B}\lbrace X \in B \rbrace \equiv \lbrace \omega \in \Omega \vert X(\omega) \in B \rbrace .

  • XX is a random variable defined on (Ω,F)(\Omega, \mathcal{F}) if

    • {Xc}F\lbrace X \leq c \rbrace \in \mathcal{F}, cR\forall c \in \mathbb{R}.

    • {Xc}F\lbrace X \geq c \rbrace \in \mathcal{F}, cR\forall c \in \mathbb{R}.

    • {X<c}F\lbrace X < c \rbrace \in \mathcal{F}, cR\forall c \in \mathbb{R}.

    • {X>c}F\lbrace X > c \rbrace \in \mathcal{F}, cR\forall c \in \mathbb{R}.

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