Measurable function (可測函數)

隨機變數 (Random variable)

• 令$(\Omega, \mathcal{F}, P)$ 為機率空間

• A function $X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ is called a random variable (measurable function) if

  • For each Borel set $B$, $X^{-1}(B) = \lbrace \omega \in \Omega \vert X(\omega) \in B \rbrace \in \mathcal{F}$.

  • pre-image $X^{-1}(\cdot)$不是一個function, 而是代表值域所對應的定義域之值的集合。

  • 根據function的定義，所有定義域之值$\omega$，都必須存在$X(\omega) \in B$；反之給定實數集合$B$時，可得到事件集合$X^{-1}(B) = \lbrace \omega \vert X(\omega) \in B\rbrace$.

  • 如果將sigma field解釋為資訊(information)時，則必須是已知的資訊才可求出隨機變數之值，因此$X^{-1}(B) \in \mathcal{F}$。

• $X$ is called measurable with respect to (w.r.t) $\mathcal{F}$.

• 如果隨機變數 $\mathbf{X}$ 的取值是有限的或者是可數無窮盡的值 $\mathbf{X}=\lbrace x_{1},x_{2},x_{3},\cdots ,\rbrace$ 則稱 $\mathbf{X}$ 為離散隨機變數。

• 如果 $\mathbf{X}$ 由全部實數或者由一部分區間組成，$\mathbf{X}=\lbrace x| a\leq x\leq b\rbrace,\ -\infty < a < b < \infty$，則稱 $\mathbf{X}$ 為連續隨機變數，連續隨機變量的值是不可數及無窮盡的。

• 由上面的定義可知隨機變數實質上是函數，而非名稱所述為變數。而隨機變數只是將隨機事件$\omega$轉換成實數值，與機率測度$P$無關。

判定隨機變數

• 由原始定義判斷一個函數是否為隨機變數相當麻煩，因此通常使用以下的定理簡化判斷。

• 令$\lbrace X \in B \rbrace \equiv \lbrace \omega \in \Omega \vert X(\omega) \in B \rbrace$.

• $X$ is a random variable defined on $(\Omega, \mathcal{F})$ if

  • $\lbrace X \leq c \rbrace \in \mathcal{F}$, $\forall c \in \mathbb{R}$.

  • $\lbrace X \geq c \rbrace \in \mathcal{F}$, $\forall c \in \mathbb{R}$.

  • $\lbrace X < c \rbrace \in \mathcal{F}$, $\forall c \in \mathbb{R}$.

  • $\lbrace X > c \rbrace \in \mathcal{F}$, $\forall c \in \mathbb{R}$.