由有理數定義實數

  • 實數形成的集合R \mathbb{R} 配備了次序關係、加法運算與乘法運算後,稱之為實數系(real number system)。

  • 一般定義實數是由自然數N \mathbb{N} 為基礎,搭配Peano 公理來定義實數系。

  • 以下將由有理數(rational number)為一個有序體且正整數(natural number)具有良序性的基礎,來證明實數系(real number system)為一個具有完備性的有序體,因此需以下假設,且分為三部份。

    • 定義何謂實數。
    • 定義實數的次序關係、加法與乘法運算,並證明有序體的性質對實數也成立。
    • 實數的完備性。
    • 定義:假設有理數為有序體(ordered field) (Q,+,× \mathbb{Q}, +, \times ),且正整數N \mathbb{N} 有良序性。令Q+Q \mathbb{Q}^{+} \subseteq \mathbb{Q} 為正有理數且p, q, rQ+\forall p,\ q,\ r \in \mathbb{Q}^{+} 滿足以下性質。
    • (加法交換性)p+q=q+p p + q = q + p .
    • (加法結合性)(p+q)+r=p+(q+r) (p+q)+r = p+(q+r) .
    • (加法單位元素)0Np+0=p \exists 0 \in \mathbb{N} \ni p + 0 = p .
    • (加法單位反元素)pQ+ pQ+p+(p)=0 \forall p \in \mathbb{Q}^{+} \ \exists -p \in \mathbb{Q}^{+} \ni p + (-p) = 0 .
    • (乘法交換性)p×q=q×p p \times q = q \times p .
    • (乘法結合性)(p×q)×r=p×(q×r) (p \times q) \times r = p \times (q \times r) .
    • (乘法單位元素)1Np×1=p \exists 1 \in \mathbb{N} \ni p \times 1 = p .
    • (乘法單位反元素)p0,p1p×p1=1 \forall p \neq 0, \exists p^{-1} \ni p \times p^{-1} = 1 .
    • (分配律) p×(q+r)=p×q+p×r p \times (q + r) = p \times q + p \times r .
    • (三一律) p \forall p ,三者中必定恰有一成立:pQ+, pQ+, p=0 p \in \mathbb{Q}^{+}, \ -p \in \mathbb{Q}^{+},\ p = 0 .
    • (加法封閉性)pQ+ and qQ+p+qQ+ p \in \mathbb{Q}^{+} \text{ and } q \in \mathbb{Q}^{+} \Rightarrow p + q \in \mathbb{Q}^{+} .
    • (乘法封閉性)pQ+ and qQ+p×qQ+ p \in \mathbb{Q}^{+} \text{ and } q \in \mathbb{Q}^{+} \Rightarrow p \times q \in \mathbb{Q}^{+} .
    • (正整數的良序性) 若ϕSN\phi \neq S \subseteq \mathbb{N} ,則S S 必定有最小元素。

Dedekind分劃(cut)

  • 為了證明實數系為完備的有序體,這裡採用的是Richard Dedekind所提出的方法。

  • 在早期證明定理都是以幾何圖形來說明,因此若將「直線有連續性」解釋為在直線上,任意兩(有理)點都有其它(有理)點存在,其實不夠嚴謹。因為我們很容易可畫出無理數r, r2=2r, \ r^2 = 2的圖形。

  • Theorem:r2=2 Theorem: r^2 = 2 不為有理數。

    • Proof:
    • Let pQ and p2=2p \in \mathbb{Q} \text{ and } p^2 = 2.
    • p=m/n, m,nN and gcd(m,n)=1 p = m/n,\ \forall m,n \in \mathbb{N} \text{ and gcd}(m,n) = 1 .
    • m2=2n2m2 \therefore m^2 = 2n^2 \Rightarrow m^2 為偶數,所以m m 為偶數。
    • m=2m1 m = 2 m_1 ,可得 n2=2m12n^2 = 2 m_1^2,所以n n 也為偶數。
    • 因此可得gcd(m,n)=2\text{gcd}(m,n) = 2 矛盾。(QED)。
    • 定義:分劃(cut)
    • ϕSQ\phi \neq S \subset \mathbb{Q} ,若
    • pS,S={qQq<p} \forall p \in S, S=\{q \in \mathbb{Q} | q < p \} ;即比p p 小的有理數均為SS的元素
    • pS qQq>p and qS \forall p \in S \ \exists q \in \mathbb{Q} \ni q > p \text{ and } q \in S ,即集合S S 存在有理數上界為集合的元素。
    • 若集合S S 滿足以上性質時,稱S S Q\mathbb{Q}的一個分劃。
    • 此定義即為比某個數小的全體有理數所形成的集合。
    • E.g. 給定rQ r \in \mathbb{Q} ,則r={qQq<r} r^{*}=\{ q \in \mathbb{Q} | q < r \} 為有理數r r 所決定的有理數分劃(rational cut)。
    • E.g. 給定dQ+ d \in \mathbb{Q}^{+} ,則S={pQp0}{pQp>0 and p2<d} S = \{p \in \mathbb{Q} | p \leq 0 \} \cup \{ p \in \mathbb{Q} | p > 0 \text{ and } p^2 < d \} 為一分劃。
      • Proof:
      • 0S,Sϕ \because 0 \in S, \therefore S \neq \phi。且(1+d)2>d,1+dSSQ(1+d)^2 > d, \therefore 1+d \notin S \therefore S \neq \mathbb{Q}.
      • pS p \in S qQ, q<p q \in \mathbb{Q},\ q < p
        • q0 q \leq 0時,可知qSq \in S
        • q>0 q > 0 時,0<q<pq2<p2<dqS \because 0 < q < p \therefore q^2 < p^2 < d \therefore q \in S.
      • pS p \in S ,要證明S S 存在上界,只須考慮p>0 p > 0 的情形即可。
        • q=(p3+3dp)/(3p2+d)Q q = (p^3 + 3dp)/(3p^2 + d) \in \mathbb{Q}
        • qp=p3+3dp3p2+dp=2p(dp2)3p2+d>0 q-p = \frac{p^3 + 3dp}{3p^2 + d}-p = \frac{2p(d-p^2)}{3p^2 + d} > 0.
        • dq2=d(p3+3dp)2(3p2+d)2=(dp2)3(3p2+d)2>0 d-q^2 = d - \frac{(p^3+3dp)^2}{(3p^2+d)^2} = \frac{(d-p^2)^3}{(3p^2+d)^2} > 0 .
        • q>p and qS \therefore q > p \text{ and } q \in S (QED).
  • 對於任何分劃S S ,均有以下兩個性質:

    • pS,qQ, and qSq>p \forall p \in S, q \in \mathbb{Q},\text{ and } q \notin S \Rightarrow q > p.(分劃必存在有理數上界)
    • p,qQ, pS and p<qqS \forall p,q \in \mathbb{Q},\ p \notin S \text{ and } p < q \Rightarrow q \notin S .(分劃必包含小於某個有理數的全部有理數)

分劃的次序關係

    • 定義:相等分劃
    • S1,S2Q S_1, S_2 \subset \mathbb{Q}為有理數中的分劃,若兩集合相等時,記為S1=S2 S_1 = S_2
    • 定義:分劃的大小
    • S1,S2Q S_1, S2 \subset \mathbb{Q} 為有理數中的分劃。
    • 若存在有理數p p 滿足 pS1 p \in S_1 pS2 p \notin S_2 ,則記為S1>S2 S_1 > S_2S2<S1 S_2 < S_1 .
    • S1S2 S_1 \geq S_2 表示S1>S2 S_1 > S_2 S1=S2 S_1 = S_2 .
    • Theorem:分劃的次序滿足三一律
    • S1,S2Q S_1, S_2 \subset \mathbb{Q}為有理數的分劃,則下列三者恰有一成立。
    • S1>S2, S1<S2,S1=S2 S_1 > S_2,\ S_1 < S_2, S_1 = S_2 .
    • Theorem:分劃的次序滿足遞移律
    • S1,S2,S3Q S_1, S_2, S_3 \subset \mathbb{Q} 為有理數的分劃。
    • S1>S2 and S2>S3S1>S3 S_1 > S_2 \text{ and } S_2 > S_3 \Rightarrow S_1 > S_3 .
    • Proof:
    • S1>S2,pQpS1 and pS2 \because S_1 > S_2, \therefore \exists p \in \mathbb{Q} \ni p \in S_1 \text{ and } p \notin S_2.
    • S2>S3,qQqS2 and qS3 \because S_2 > S_3, \therefore \exists q \in \mathbb{Q} \ni q \in S_2 \text{ and } q \notin S_3.
    • pS2 and qS2p>q \because p \notin S_2 \text{ and } q \in S_2 \therefore p > q.
    • qS3 and p>qpS3 \because q \notin S_3 \text{ and } p > q \therefore p \notin S_3.
    • pS1 and pS3S1>S3 \because p \in S_1 \text{ and } p \notin S_3 \Rightarrow S_1 > S_3 (QED).

分劃的加法運算

    • Theorem: 兩分劃可以相加。
    • S1,S2Q S_1, S_2 \subset \mathbb{Q} 為有理數的分劃。
    • 則集合S3={p+qpS1, qS2} S_3 = \{ p+q | p \in S_1,\ q \in S_2 \} 也是有理數的分劃。
    • Proof:
    • [1] 證明ϕS3Q \phi \neq S_3 \subset \mathbb{Q}
    • S1ϕ and S2ϕS3ϕ \because S_1 \neq \phi \text{ and } S_2 \neq \phi \therefore S_3 \neq \phi .
    • S1Q and S2Qs,tQsS1 and tS2 \because S_1 \neq \mathbb{Q} \text{ and } S_2 \neq \mathbb{Q} \therefore \exists s,t \in \mathbb{Q} \ni s \notin S_1 \text{ and } t \notin S_2.
    • 因此可得pS1, p<s\forall p \in S_1,\ p < s, qS2, q<t \forall q \in S_2,\ q < t .
    • vS3,v<s+t ands+tS3, S3Q \therefore \forall v \in S_3, v < s+t \text{ and} s+t \notin S_3,\ S_3 \neq \mathbb{Q} [1].
    • [2] 證明比p+qp+q小的所有有理數均為S3 S_3 的元素。
    • Let vS3, sQ, s<v v \in S_3, \ s \in \mathbb{Q}, \ s < v .
    • S3 S_3 的定義,必存在pS1, qS2v=p+q p \in S_1,\ q \in S_2 \ni v = p + q .
    • t=sq t = s - q ,則 tQ t \in \mathbb{Q} ,且因s<v s < v 可得t<p t < p .
    • S1 \because S_1 是分劃且pS1 p \in S_1 ,所以tS1 t \in S_1
    • s=t+q \because s = t + q qS2 q \in S_2 ,所以sS2 s \in S_2 [2]。
    • [3] 證明S3 S_3 存在有理數上界。
    • vS3 v \in S_3 ,則可找到pS1 and qS2v=p+q p \in S_1 \text{ and } q \in S_2 \ni v = p + q.
    • S1 \because S_1是分劃且pS1 p \in S_1,所以可找到sS1s>ps \in S_1 \ni s > p
    • s+qS3 and s+q>v \therefore s + q \in S_3 \text{ and } s + q > v [3].
    • 由[1,2,3]可得S3S_3為有理數中的分劃(QED)。
    • 定義:分劃的和(sum)
    • S1,S2Q S_1, S_2 \subset \mathbb{Q} 為有理數的分劃,則S1,S2 S_1, S_2 之和為S1+S2 S_1 + S_2
    • S1+S2={p+qpS1, qS2} S_1 + S_2 = \{p+q | p \in S_1,\ q \in S_2 \} .
    • Theorem:分劃的加法滿足交換律
    • S1,S2Q S_1, S_2 \subset \mathbb{Q} 為有理數的分劃,則S1+S2=S2+S1 S_1 + S_2 = S_2 + S_1
    • Theorem:分劃的加法滿足結合性
    • S1,S2,S3Q S_1, S_2,S_3 \subset \mathbb{Q} 為有理數的分劃,則(S1+S2)+S3=S1+(S2+S3) (S_1 + S_2) + S_3 = S_1 + (S_2 + S_3) .
    • Theorem:分劃的加法有單位元素
    • SQ S \subset \mathbb{Q} 為有理數的分劃,則S+0=SS + 0 = S.
    • Theorem:每個分劃都有加法反元素
    • SQ S \subset \mathbb{Q} 為有理數的分劃,則必存在一個分劃T T 滿足S+T=0 S+T = 0 .
    • 分劃S S 的加法反元素將以S -S 表示。
    • 加法反元素具唯一性。
    • Corollary:逼近定理
    • SQ S \subset \mathbb{Q} 為有理數的分劃,則對每個正有理數p p ,必可找到sS s \in S 以及qQS q \in \mathbb{Q} - S q q 不是QS \mathbb{Q} -S 的最小元素,使得qs=p q-s=p
    • E.g. 令S=1/2 S=1/2 的分劃,若p=3, s=0 p=3,\ s=0 ,則q=3 q=3 .
    • Theorem:分劃的加法可保持次序
    • S1,S2,S3Q S_1, S_2,S_3 \subset \mathbb{Q} 為有理數的分劃。
    • S1>S2S1+S3>S2+S3 S_1 > S_2 \Rightarrow S_1 + S_3 > S_2 + S_3

分劃的乘法運算

    • Theorem:兩正分劃可以相乘
    • S1,S2Q S_1, S_2 \subset \mathbb{Q} 為有理數的分劃,且S1>0, S2>0 S_1 > 0,\ S_2 > 0
    • {rQr0}{pqpS1Q+, qSQ+} \{ r \in \mathbb{Q} | r \leq 0 \} \cup \{ pq | p \in S_1 \cap \mathbb{Q}^{+},\ q \in S_ \cap \mathbb{Q}^{+}\} 為有理數中的分劃。
    • 稱為正分劃S1,S2 S_1, S_2 的積(product),記為S1S2 S_1 S_2
    • 定義:分劃的積
    • S1,S2Q S_1, S_2 \subset \mathbb{Q} 為有理數的分劃,則積S1S2 S_1 S_2 定義如下:
    • S1=0, S2=0, S1S2=0 S_1 = 0,\ S_2 = 0,\ S_1 S_2 = 0 .
    • S1>0, S2<0, S1S2=(S1(S2)) S_1 > 0,\ S_2 < 0,\ S_1 S_2 = -(S_1(-S_2)) .
    • S1<0, S2>0, S1S2=((S1)S2) S_1 < 0,\ S_2 > 0,\ S_1 S_2 = -((-S_1) S_2) .
    • S1<0, S2<0, S1S2=(S1)(S2) S_1 < 0,\ S_2 < 0,\ S_1 S_2 = (-S_1)(-S_2) .
    • S1>0, S2>0, S1S2 S_1 > 0,\ S_2 > 0,\ S_1 S_2 同前一個定理。
    • Theorem:分劃的乘法滿足交換律
    • S1,S2Q S_1, S_2 \subset \mathbb{Q} 為有理數的分劃。
    • S1S2=S2S1 S_1 S_2 = S_2 S_1
    • Theorem:分劃的乘法滿足結合律
    • S1,S2,S3Q S_1, S_2, S_3 \subset \mathbb{Q} 為有理數的分劃。
    • (S1S2)S3=S1(S2S3) (S_1 S_2) S_3 = S_1 (S_2 S_3)
    • Theorem:分劃的乘法有單位元素
    • SQ S \subset \mathbb{Q} 為有理數的分劃,則S1=S S 1 = S
    • Theorem:每個不為0的分劃都有乘法反元素
    • 0SQ 0 \neq S \subset \mathbb{Q} 為有理數的分劃。
    • 則必有一分劃T T 滿足ST=1 ST=1
    • T T 為分劃S S 的乘法反元素,記為S1 S^{-1} 1/S 1/S
    • Theorem:逼近定理
    • SQ S \subset \mathbb{Q} 為有理數的一個正分劃。
    • 則對於每個大於1的有理數p p ,必可找到sS, qQS s \in S,\ q \in \mathbb{Q} - Sq q 不是QS \mathbb{Q}-S 的最小元素使得p=q/s p=q/s
    • Theorem:分劃的乘法對加法可分配
    • S1,S2,S3Q S_1, S_2, S_3 \subset \mathbb{Q} 為有理數的分配。
    • S1(S2+S3)=S1S2+S1S3 S_1(S_2 + S_3) = S_1 S_2 + S_1 S_3 .

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