由有理數定義實數
實數形成的集合配備了次序關係、加法運算與乘法運算後,稱之為實數系(real number system)。
一般定義實數是由自然數 為基礎,搭配Peano 公理來定義實數系。
以下將由有理數(rational number)為一個有序體且正整數(natural number)具有良序性的基礎,來證明實數系(real number system)為一個具有完備性的有序體,因此需以下假設,且分為三部份。
- 定義何謂實數。
- 定義實數的次序關係、加法與乘法運算,並證明有序體的性質對實數也成立。
- 實數的完備性。
- 定義:假設有理數為有序體(ordered field) (),且正整數有良序性。令為正有理數且 滿足以下性質。
- (加法交換性).
- (加法結合性).
- (加法單位元素).
- (加法單位反元素).
- (乘法交換性).
- (乘法結合性).
- (乘法單位元素).
- (乘法單位反元素).
- (分配律) .
- (三一律) ,三者中必定恰有一成立:.
- (加法封閉性).
- (乘法封閉性).
- (正整數的良序性) 若,則 必定有最小元素。
Dedekind分劃(cut)
為了證明實數系為完備的有序體,這裡採用的是Richard Dedekind所提出的方法。
在早期證明定理都是以幾何圖形來說明,因此若將「直線有連續性」解釋為在直線上,任意兩(有理)點都有其它(有理)點存在,其實不夠嚴謹。因為我們很容易可畫出無理數的圖形。
- 不為有理數。
- Proof:
- Let .
- .
- 為偶數,所以 為偶數。
- 令 ,可得 ,所以 也為偶數。
- 因此可得 矛盾。(QED)。
- 定義:分劃(cut)
- 令,若
- ;即比小的有理數均為的元素
- ,即集合存在有理數上界為集合的元素。
- 若集合滿足以上性質時,稱為的一個分劃。
- 此定義即為比某個數小的全體有理數所形成的集合。
- E.g. 給定,則為有理數 所決定的有理數分劃(rational cut)。
- E.g. 給定,則為一分劃。
- Proof:
- 。且.
- 若且。
- 當時,可知。
- 當時,.
- 若,要證明存在上界,只須考慮的情形即可。
- 令 且
- .
- .
- (QED).
對於任何分劃,均有以下兩個性質:
- .(分劃必存在有理數上界)
- .(分劃必包含小於某個有理數的全部有理數)
分劃的次序關係
- 定義:相等分劃
- 為有理數中的分劃,若兩集合相等時,記為。
- 定義:分劃的大小
- 為有理數中的分劃。
- 若存在有理數 滿足 且 ,則記為 或 .
- 表示或 .
- Theorem:分劃的次序滿足三一律
- 為有理數的分劃,則下列三者恰有一成立。
- .
- Theorem:分劃的次序滿足遞移律
- 為有理數的分劃。
- .
- Proof:
- .
- .
- .
- .
- (QED).
分劃的加法運算
- Theorem: 兩分劃可以相加。
- 為有理數的分劃。
- 則集合也是有理數的分劃。
- Proof:
- [1] 證明。
- .
- .
- 因此可得, .
- [1].
- [2] 證明比小的所有有理數均為的元素。
- Let .
- 依的定義,必存在.
- 令,則 ,且因 可得.
- 是分劃且,所以。
- 且 ,所以 [2]。
- [3] 證明存在有理數上界。
- 令 ,則可找到.
- 是分劃且,所以可找到。
- [3].
- 由[1,2,3]可得為有理數中的分劃(QED)。
- 定義:分劃的和(sum)
- 為有理數的分劃,則之和為
- .
- Theorem:分劃的加法滿足交換律
- 為有理數的分劃,則
- Theorem:分劃的加法滿足結合性
- 為有理數的分劃,則.
- Theorem:分劃的加法有單位元素
- 為有理數的分劃,則.
- Theorem:每個分劃都有加法反元素
- 為有理數的分劃,則必存在一個分劃滿足.
- 分劃的加法反元素將以表示。
- 加法反元素具唯一性。
- Corollary:逼近定理
- 為有理數的分劃,則對每個正有理數,必可找到以及 且 不是的最小元素,使得
- E.g. 令的分劃,若,則.
- Theorem:分劃的加法可保持次序
- 為有理數的分劃。
- 若。
分劃的乘法運算
- Theorem:兩正分劃可以相乘
- 為有理數的分劃,且。
- 則為有理數中的分劃。
- 稱為正分劃的積(product),記為。
- 定義:分劃的積
- 為有理數的分劃,則積定義如下:
- .
- .
- .
- .
- 同前一個定理。
- Theorem:分劃的乘法滿足交換律
- 為有理數的分劃。
- 則。
- Theorem:分劃的乘法滿足結合律
- 為有理數的分劃。
- 則。
- Theorem:分劃的乘法有單位元素
- 為有理數的分劃,則。
- Theorem:每個不為0的分劃都有乘法反元素
- 為有理數的分劃。
- 則必有一分劃滿足
- 為分劃的乘法反元素,記為 或。
- Theorem:逼近定理
- 為有理數的一個正分劃。
- 則對於每個大於1的有理數,必可找到且不是的最小元素使得
- Theorem:分劃的乘法對加法可分配
- 為有理數的分配。
- 則.