緊緻集(Compact set)

• 緊緻集是近代分析數學中最重要的概念之一。

• 在微積分的課程中，我們已知定理「定義域是 $\mathbb{R}$中有限閉區間的連續函數必是有界函數」，而能夠有如此好的結果，必是有其特殊性質。首先我們先觀察其中部份現象。

• 令 $f: A \rightarrow \mathbb{R}$為一連續函數， $A$為一區間。當要討論 $f$是否有為界函數時，必須在區間 $A$中的每個點附近討論。
  • $\forall c \in A$，若 $f$在 $c$連續，則 $\exists \delta_c > 0 \ni | f(x) - f(c) | \le 1, \forall x \in A, |x- c| \le \delta_c$。
  • Let $U_c = \lbrace x \in \mathbb{R} | |x-c| \le \delta_c \rbrace, \ B_c = 1 + |f(c)|$。
  • 上式表示 $\forall c \in A$，必可找到 $c$的開鄰域 $U_c$使得 $f$在 $U_c \cap A$上有界。
  • 此種表示法表示的意義是原始問題為「 $f$在整個定義域 $A$是否有界」?，這樣的全域問題，可以在每個點 $c$的鄰域 $U_c$上找到局部的解。
  • 即由集合 $A$引出一集合族 $\lbrace U_c | c \in A \rbrace$，且此集合族滿足 $A \subset \cup \lbrace U_c | c \in A \rbrace$，此種現象稱為覆蓋(covering)。

覆蓋(Covering)

• 定義：覆蓋
  • 令 $S \subset \mathbb{R}^k$，若由 $\mathbb{R}^k$的子集所形成集合族 $\lbrace C_\alpha | \alpha \in I \rbrace$ 的聯集包含集合 $S$即
  • $S \subset \cup \lbrace C_\alpha | \alpha \in I \rbrace$
  • 則稱集合族 $\lbrace C_\alpha | \alpha \in I \rbrace$為集合 $S$的一個覆蓋。
• 定義：子覆蓋(subcovering)
  • 若集合族 $\lbrace C_\alpha | \alpha \in I \rbrace$是集合 $S$的一個覆蓋，而 $J \subset I$
  • 且 $\lbrace C_\alpha | \alpha \in J \rbrace$也是集合 $S$的覆蓋，則稱其為 $\lbrace C_\alpha | \alpha \in I \rbrace$的一個子覆蓋。
• 定義：開覆蓋(open convering)
  • 若集合族 $U_\alpha | \alpha \in I$是集合 $S$的一個覆蓋，且其中每個 $U_\alpha$都是 $\mathbb{R}^k$的開集合，則 $\lbrace U_\alpha | \alpha \in I \rbrace$稱為集合 $S$的一個開覆蓋。
  • E.g. $\lbrace (x, x+2) \subset \mathbb{R} | x\in \mathbb{R} \rbrace$是實數的一個開覆蓋。
  • E.g. $\lbrace (n, n+2) \subset \mathbb{R} | n \in \mathbb{Z} \rbrace$是實數的一個可數子覆蓋，且沒有有限的子覆蓋。

• Corollary: 有理點為中心、有理數為半徑的開球
  • 令 $G= \{ A_1, A_2, \cdots\}$為可數個半徑與圓心均為有理數 $k$維球所形成的集合族。
  • $S \mathbb{R}^k$ 為非空開集合且$x \in S$。
  • 則存在至少一個在 $G$中的球包含 $x$且包含於 $S$，即 $x \in A_k \subseteq S$ for some $A_k \in G$.
  • Proof:
  • 因為 $G$可視為有理數的集合(球心與半徑均為有理數)，且可數集合的聯集仍為可數，因此 $G$ 為可數集合。
  • $\because x \in S \subset \mathbb{R}^k$，且 $S$ 為開集合， $\therefore \forall r > 0, B_{r}(x) \subseteq S$.
  • 因此在 $S$中必定存在非常靠近 $x$的點 $y$，且 $y \in B_{r}(x)$.
  • 因為 $x = (x_1, x_2, \cdots, x_k),\ y=(y_1, y_2, \cdots, y_k)$，因此 $y_i \in \mathbb{Q} \ni | y_i - x_i| \le r/(4k),\ forall i=1,2,\cdots, k$.
  • 可得 $\Vert y-x \Vert \leq | y_1 - x_1| + |y_2 - x_2| + \cdots |y_k - x_k| \le r/4$.
  • 令 $q \in \mathbb{Q}. \ r/4 \le q \le r/2$，則 $x \in B_{q}(y) \subseteq B_r(x) \subseteq S$, 但 $B_q(y) \in G$ (QED).

• Theorem:Lindelof 覆蓋定理
  • $\forall S \subset \mathbb{R}^k$， $S$的每個開覆蓋都有一個可數的子覆蓋。
  • Proof:
  • 令 $\lbrace U_\alpha | \alpha \in I \rbrace$ 是集合 $S$ 的開覆蓋。
  • 即 $S \subset \cup_{\alpha \in I} U_\alpha$，我們將證明其有一個可數的子覆蓋。
  • 因為以有理點為中心，半徑為有理數的所有開球構成一可數族，記為 $\lbrace B_r(y) \subset \mathbb{R} | y \in \mathbb{Q}^k, r \in \mathbb{Q}^{+} \rbrace = \lbrace B_n | n \in \mathbb{N} \rbrace$。
  • 令 $M = \lbrace n \in \mathbb{N} | \exists \alpha, \ B_n \subset U_\alpha \rbrace$，則 $M$ 為可數集合。
  • $\because S \subset \cup_{\alpha \in I} U_\alpha \ \therefore \forall x \in S \ \exists \alpha \in I \ni x \in U_\alpha$.
  • 根據前一個引理， $\exists m \in \mathbb{N} \ni x \in B_m \subset U_\alpha$，而依 $M$的定義可知 $m \in M$.
  • 因此 $S \subset \cup \lbrace B_n | n \in M \rbrace$。
  • $\forall n \in M, \exists \alpha \in I \ni B_n \subset U_\alpha$，所以可選出 $\alpha(n) \in I \ni B_n \subset \cup U_{\alpha(n)}$.
  • 因為 $M$為可數集，所以 $\lbrace \alpha(n) \in I | n \in M \rbrace$ 是 $I$的可數子集。
  • 而且由 $S \subset \cup \lbrace B_n | n \in M \rbrace$可得 $S \subset \lbrace \cup U_{\alpha(n)} | n \in M \rbrace$。
  • 即 $\lbrace U_{\alpha(n)} | n \in M \rbrace$ 是 $S$ 的開覆蓋 $\lbrace U_\alpha | \alpha \in I \rbrace$ 的一個可數子覆蓋。(QED).

• 由此定理可知 $\mathbb{R}^k$ 中的每個子集之每個開覆蓋均有可數的子覆蓋，但是可數不一定為有限，以下定理給出了那些子集的每個開覆蓋不存在有限的子覆蓋。

• 定理 ：Heine-Borel定理
  • $\forall S \subset \mathbb{R}^k$為有界的閉集合，則 $S$的每個開覆蓋都有一個有限子覆蓋。
  • Note: 此定理與實數系的完備性等價。
  • Proof:
    • 令 $S \subset \lbrace U_\alpha | \alpha \rbrace$為開覆蓋，依Lindelof定理必存在可數子覆蓋 $\lbrace U_\alpha(n) | n \in \mathbb{N} \rbrace$。
    • 我們要證明 $\exists m \in \mathbb{N} \ni S \subset \cup_{n=1,2,\cdots,m} U_{\alpha(n)}$，其為 $\lbrace U_\alpha | \alpha \in I \rbrace$的一個有限可數子覆蓋。
    • (反證法）：假設滿足上述條件的正整數 $m$ 不存在，即 $\forall n \in \mathbb{N}, S \nsubseteq U_{\alpha(1)} \cup U_{\alpha(2)} \cup \cdots \cup I_{\alpha(n)}$.
    • 令 $F_n = S \cap \left( \mathbb{R}^k - U_{\alpha(1)} \cup U_{\alpha(2)} \cup \cdots \cup U_{\alpha(n)} \right)$, 則定義 $F_n$ 為 $\mathbb{R}^k$ 中的一個非空有界閉集合。
    • 且 $F_n$為遞減序列，即 $F_1 \supset F_2 \supset \cdots \supset F_n \supset \cdots$.
    • 我們將證明全體 $F_n$的交集不是空集合，即 $\exists x_0 \in \mathbb{R}^k \ni \forall n, x_0 \in F_n$.
    • 令$x_n \in F_n, \ \forall n \in \mathbb{N}$，且 $A = \lbrace x_n | n \in \mathbb{N} \rbrace$.
    • 因為 $A$為有界集合 $S$ 的子集合，所以 $A$ 為有界集合。
    • case 1: 若 $A$為有限集。
    • 存在 $\lbrace n_1 \le n_2 \le \cdots n_l \cdots \rbrace \subset \mathbb{N} \ni x_{n_1} = x_{n_2} = \cdots =x_{n_l} = x_0$.
    • 因為 $\forall n \in \mathbb{N}, \lim_{l \rightarrow \infty}n_l = \infty$, 所以 $\exists l \in \mathbb{N} \ni F_{n_l} \subset F_n \forall n_l \geq n$，即 $x_0 = x_{n_l} \in F_{n_l} \subset f_n$.
    • 即 $x_0 \in F_n \forall n \in \mathbb{N}$.
    • case 2: 若 $A$ 為無限集。
    • 依Bolzano-Weierstrass定理， $A$有一個聚集點 $x_0$。
    • $\because A \subset F_1$ 且 $F_1$為閉集合，所以 $x_0 \in F_1$.
    • 因為 $\forall n \in \mathbb{N}$, $x_0$的每個鄰域 $N$都與 $A$ 有無窮多個交點，所以 $N \cap A - \lbrace x_1,x_2,\cdots, x_n \rbrace$有無窮多個交點，因此 $x_0$是 $A - \lbrace x_1, x_2, \cdots ,x_n \rbrace$的聚集點。
    • 再由 $A - \lbrace x_1, x_2, \cdots, x_n \rbrace \subset F_{n+1}$ 可知 $x_0$也是 $F_{n+1}$的聚集點。
    • 又因為 $F_{n+1}$為閉集合，所以 $x_0 \in F_{n+1}$。
    • 根據數學歸納法， $x_0 \in F_n, \forall n \in \mathbb{N}$.
    • 因為 $x_0$ 屬於每個 $F_n$，所以 $x_0 \in S$ 而且 $x_0$ 不屬於每個 $U_{\alpha(n)}$，這表示 $x_0 \in S$ 且 $x_0 \nsubseteq \cup \lbrace U_{\alpha(n)} | n \in \mathbb{N} \rbrace$ 與假設矛盾。(QED).

• 在此定理中，使用了Bolzano-Weierstrass定理證明了Heine-Borel定理。此外，利用 $K=1$的Heine-Borel定理可以證明區間套定理，可見Heine-Borel定理與實數系的完備性等價。