遍歷理論(Ergodic theory)

• 遍歷(Ergodic)是由兩個希臘字而來：ergon(work) 與 odos(path)，此概念最早是由 Boltzmann於統計力學領域(statistical mechanics) 所提出。

• 遍歷理論是研究一個系統長期行為的數學分析，其中一項廣為人知的結果是：在經過長時間後，時間平均將會趨近空間平均。此事實在動力系統扮演極重要的角

• 令 $X$ 為系統所有狀態的集合(collection of states)。

• 而演化(evolution)定義如下:

  • 轉換(transformation) $T: X \rightarrow X$，即假設系統在$t=0$時的初始狀態為$x$，則在$t=1$的狀態為$T(x)$。
  • 若為連續的演化(continuous evolution)或是系統有特殊的結構時, then we describe the evolution by looking at a group of transformations $G$ acting on $X$。
  • $\forall g \in G, T_g: X \rightarrow X, \text{ and } T_{gg'} = T_g \circ T_{g'}$。

• 通常空間 $X$ 有特殊的結構，而我們希望經過 $T$ 的轉換後，仍然能保證空間的特性，如：

  • 若 $X$ 為測度空間 (measure space)，則 $T$ 必須為可測。
  • 若 $X$ 為拓樸空間 (topological space)，則 $T$ 必須連續。
  • 若 $X$ 為可微分空間 (differentiable space)，則 $T$ 必須微分同胚(diffeomorphism)。

• 定義：Ergodic time series
  • $\lbrace X_t \rbrace$ 為弱定態時間序列，若其滿足 $\gamma(k) \rightarrow 0 \text{ as } k \rightarrow 0$，則稱其具有遍歷性。
  • $\gamma(t)$為間隔為 $t$的自我相關係數(autocorrelation coefficient)。
  • 遍歷時間序列表示時間序列漸近獨立，即 $X_t$ 與 $X_{t-k}$ 隨著time horizon $k$ 變大而獨立(此為一般的解釋，嚴謹的解釋為mixing)。

參考文獻

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