數學規劃 (Mathematical problem)

所有的最佳化問題都可以寫成下述的數學規劃形式：

• $\begin{array}{rl} \min & f_o(x) \\ s.t. & f_i(x) \leq c_i, \, i=1,2,\cdots,M. \end{array}$

  • $x = (x_1, x_2, \cdots, x_n)$, 最佳化變數(決策變數)。

  • $f_0(x): \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$: 目標函數 (objective function)

  • $f_i(x): \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}, \, i=1,2,\cdots, M$, 限制函數 (constraint functions)

  • 令$x^*$為最佳化(optimal solution)，i.e. $x^* = \arg\min_{x \in\mathbb{R}^n} \left\{ f_o(x) \vert f_i(x) \leq c_i, \, i=1,2,\cdots, M \right\}$.

  • 上述的規劃並未對目標函數以及限制函數做出限制，即這些函數可能為非線性甚至是非連續函數。

• 如果目標函數$f_o$與限制函數$f_i(x)\, i=1,2,\cdots, M$均為凸函數(convex function)，稱此數學規劃為凸優化(convex optimization)。