變換群(Transformation group)

• 此方法由Jaynes所提出。
• 變換群討論在實驗的性質，透過旋轉、尺度變換等轉換下所該保有的不變性來決定對於實驗的結果預測先驗機率(priori probability)。

transformation

• 有兩個非空集合$X$與$Y$
• 此兩集合間有一對應關係(函數)$f: X \rightarrow Y$，滿足下式
  • $f(x) = \{y \vert y = f(x), \forall x \in X \}$
  • $\forall x_1, x_2 \in X, x_1 \neq x_2 \Rightarrow f(x_1) \neq (x_2)$.

• 定義集合$G$(set of function)為非空集合$X$上所有變換所形成的集合。

• 如果$G$滿足以下條件時，稱$G$為集合$X$上的變換群$(G, X)$。

  • (Closure) $f,g \in G$ $\rightarrow$ $f \cdot g\in G$
  • (Associativity) $f, g, h \in G$ $\rightarrow$ $f(gh)=(fg)h$
  • (Identity element) $I \in G$ identity transformation, i.e. $\forall x \in X$, $I(x) = x$.
  • (Inverse element) $f\in G$ $\rightarrow$ $f^{-1} \in G$

Example: Poisson distribution

• 在時間間隔$t$內，事件發生$n$次的機率為$P(n|\lambda) = \exp{\left(-\frac{(\lambda t)^n}{n!}\right)}$.
• $\lambda$是事件在時間間隔$t$內平均發生次數，是由觀測事件的發生次數所估計而來。
• 但是我們對於$\lambda$的概念僅知為單位$(time)^{-1}$的比例常數，對於觀測時間的尺度沒有任何概念。
• 引進變換群的概念時，可知在不同時間尺度時，觀測此實驗應得到相同的結論(即不同時間尺度$t_1$, $t_2$，且$t_2=qt_1$，兩者相差$q$倍，則觀測得到的$\lambda_1$與$\lambda_2$應滿足$\lambda_2=q\lambda_1$)