隨機過程(random process)

機率理論主要在研究一個(一維)或有限多個(多維)隨機變數間的統計規律。但現今的科學應用上，往往需連續不斷的觀察或研究某些事物在一段時間內的變化過程，這等於在考量無窮多維的向量空間，由此引出對隨機過程的探討。

• Random process: 給定一個定義於機率空間$(\Omega, \mathbb{F}, P)$的雙變數函數$X_t \equiv \mathbf{X}_t(\omega): I \times \Omega \rightarrow \mathbb{R}^d$, $t \in I \subset \mathbb{R}$為index set，$\omega \in \Omega$, $\mathbf{X}_t \in \mathbf{F}$ measurable, $d \geq 1$，則稱$\mathbf{X}_t$為具有$\mathbb{R}^d$值的隨機過程。
  • index $t$不一定為有序，可代表長度、重量或是其它可做為變數的單位，但實務上幾乎都是指時間。
  • $\mathbf{X}_t(\omega)$ 可表示時間$t$時的狀態，因此可探討多個事物在一段時間內的變化過程。
  • $d > 1$時為向量隨機過程(vector stochastic process)，而$d=1$時為狹義的隨機過程，以$X_t$表示之。

• 隨機過程是同時定義於$\Omega$與$I$的二元函數，兩者變動搭配時的解釋如下。

  • $t$與$\omega$均為可變時，$X_t$為$t$的函數。當$t$可變但$\omega$固定時，$X_t$為一確定函數，則這些結果整合後，可得到許多路徑，稱為樣本路徑(sample path)。

    

  • 當$t$為固定但$\omega$為可變時，$X_t$為一隨機變數。如上圖，當固定在$t=1$時，隨機過程在此線上的點，即為隨機變數的實現值。

  • 當$t$與$\omega$均為固定時，$X_t$為一確定數，即$t=1$時，$X_t(\omega)$之值。

時間與狀態為連續或離散之隨機過程

• 時間與狀態均為離散

  • 當$I$與$\Omega$的元素皆為可數時即為此類型。
  • 如丟$n$個銅版，單個銅版出現head記為1，出現tail記為0，第$k$次丟$n$個銅版出現的值記為$x_k(n)$，因此給定$n$, $x_{1:k}(n)$之值為一樣本路徑。
  • $I = \{ 1,2,\cdots,n \}$, $\Omega= \{0,1\}$.

• 時間為離散但狀態為連續

  • $I$內的元素為可數，但$\Omega$的元素不可數時為此情形。
  • E.g. $X_1,X_2, \cdots$為i.i.d.的標準常態分佈，則$X_t,\ t=1,2,\cdots$為一隨機過程，且$I = \{ t\in \mathbb{N} \},\ \Omega = (-\infty, \infty)$.
  • 以上兩種隨機過程為稱時間離散型隨機過程(stochastic process in discrete time).

• 時間為連續但狀態為離散

  • $I$內的元素為不可數，但$\Omega$的元素可數時為此情形。
  • E.g. $X_t$為一保險公司一年內的車禍理賠數量，此為可數值，而index集合為時間，此為連續值。

• 時間與狀態均為連續

  • 當$I,\ \Omega$集合內元素均為不可數時。
  • E.g. 觀察一段時間$t > 0$內某隻股票的股價變化為$X_t$。
  • 以上兩種隨機過程為稱時間連續型隨機過程(stochastic process in continuous time).