機率為0的概念

• 樣本空間是一個機率空間 $\Omega=(\Omega,\mathcal{B},P)$

  • 集合$\Omega$的子集構成的sigma-algebra $\mathcal{B}$(其中的元素叫做事件)，
  • 以及定義在$\mathcal{B}$上機率測度$P$應該滿足以下性質.

• $\forall E \in \mathcal{B}, 0 \leq P(E) \leq 1$.

• $P(\Omega) = 1$.
• $E_1, E_2 \cdots \in \mathcal{B}, E_i \cap E_j = \phi, i \neq j, P(\cup_{i=1}^{\infty}E_i) = \sum_{i=1}^{\infty} P(E_i)$.

　範例：機率0

• 把一件事情發生的“機率”當做面積（測度論），這件事情所有可能的結果構成了整個區域: 比如假設為單位正方形。

  • 單位正方形的面積為1，表示裡面發生的機率為1。
  • 對於正方形中的一個點，它的面積為0，意義就是機率為0，但是它仍然有可能發生。
  • 正方形去除了那個點之後餘下的部分面積為1，意義就是機率為1，但是仍然有可能不發生（即取到了那個點）。
  • 因此必然事件的機率為1，不可能事件的機率為0。而反過來的說法卻是不成立的。這是很容易誤解的地方。

• 有一條線段，長10cm。假如我隨意選一點，問這點恰好把線段平分的機率是多少？

  • 我們知道一點是沒有長度的，所以這裡答案應該是0.
  • 機率為0.但這不代表這點不存在吧，因為確實存在一點是能把這線段平分的。
  • 所以數學上機率為0的事件也不一定是不會發生。

• 公車在2點至3點間會到，而在每一個時刻到的機率都為0，但是公車最終還是會在某時刻到的。這個就是機率為0的事件不一定不會發生。

  • 反之亦然，公車不在2:30分00秒000毫秒來的可能性為1，但是公車也可以在那時候來。此時概率為1的事件不發生。

• [0,1]裡有(可數）無窮多個有理數，可是你從裡抽出一個數為有理數的機率為0，抽出一個無理數的機率為100%。

  • 這是是因為可數無窮個0Lebesque測度可以理解為數軸上的長度）的和還是0測度，每一個有理數點都具有0測度。
  • 抽出所有有理數之後，[0,1]少了可數無窮個“長度”為0的點，所以長度還是1，抽出無理數勒貝格測度下的概率就是100%

• 機率為0的事件，必然不能發生嗎？回答這個問題，需要先明確是什麼機率模型。但是無論如何，零機率事件和不可能事件從概念上講，是兩個不同的概念。

  • 如果是古典概型，因為樣本空間是有限的，所以零概率事件和不可能事件恰好重合。
  • 如果是幾何概型，零機率事件就不一定是不可能事件。

• 有人認為機率是做N次實驗，成功或失敗的次數。錯，這是頻率，是現實中測量概率的方法，只能逼近機率，不能等同於概率。

  • 機率是按數學（測度論）定義的，這裡機率是嚴格的零。