冪次分佈 (Power-law distribution)

• $f(x) = ax^k + O(x^k)$.

• 這個函式裡面，即使$x$的值只增加一點點，然而是以次方級數影響$f(x)$。

• $k<0$時，可得$f(x)$圖形如下

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• 生活中常見的power law distribution。

  • Zipf distribution
    • 哈佛大學的語言學專家Zipf在研究英文單詞出現的頻率時，發現如果把單詞出現的頻率按由大到小的順序排列，則每個單詞出現的頻率與它的名次的常數次冪存在簡單的反比關係$P(r) \sim r^{-a}$，它表明在英語單詞中，只有極少數的詞被經常使用，而絕大多數詞很少被使用。
  • Pareto distribution
    • Pareto發現少數人的收入要遠多於大多數人的收入，提出了著名的80/20法則。$P( X \geq k) \sim x^{-k}$.

Power-law distribution

• A quantity $x$ obeys a power law if it’s drawn from a probability distribution
• $P(x) \propto x^{-a}$.

• $\alpha$ is a constant parameter of the distribution known as the exponent or scaling parameter.

• Typically $2 < \alpha < 3$.

• 一般的資料都不會符合Power-law distributIon，只有在極端的情況下才會符合，即資料的尾端分佈才會為幕次分佈(i.e. $x \geq x_{\min}$).