Cholesky decomposition應用

• 任意隨機向量$\mathbf{Y} \in \mathbb{R}^{M \times 1}$，其covariance matrix $E(\mathbf{Y}\mathbf{Y}^T) \in \mathbb{R}^{M \times M}$.
• 令獨立隨機向量$\mathbf{x} \in \mathbb{R}^{M \times 1}$, $E(\mathbf{X}) = \mathbf{0}$, $E(\mathbf{X}\mathbf{X}^T)=\mathbf{I}$ (identity matrix).
• 若要抽出隨機樣本，且樣本的共變異數矩陣等於$E(\mathbf{Y}\mathbf{Y}^T)$, 首先做Cholesky decomposition得$E(\mathbf{Y}\mathbf{Y}^T)=\mathbf{L}\mathbf{L}^T$，這邊$\mathbf{L}$為下三角矩陣。
• 因為Covariance matrix為positive semi-definite matrix，所以Cholesky decomposition必存在。
• 令$\mathbf{Z}=\mathbf{LX} \in \mathbb{R}^{M\times M}$即為所求，原理如下式。
  • $\begin{array}{rcl} E(\mathbf{ZZ}^T) & = &E((\mathbf{LX})(\mathbf{LX})^T) \\ & = & E(\mathbf{L}\mathbf{X}\mathbf{X}^T\mathbf{L}^T) \\ & = & \mathbf{L} E(\mathbf{X}\mathbf{X}^T) \mathbf{L}^T \\ & = & \mathbf{L} \mathbf{I} \mathbf{L}^T \\ & = & \mathbf{L} \mathbf{L}^T \\ & = & E(\mathbf{Y}\mathbf{Y}^T). \end{array}$